【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0)、B(4,0)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)),頂點(diǎn)為D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將△ABC沿直線BC對(duì)折,點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為A′,試求A′的坐標(biāo);
(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使∠BPC=∠BAC?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)A'(1,4);(3)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣)或(,2+).
【解析】
(1)先判斷出拋物線的二次項(xiàng)系數(shù),再根據(jù)交點(diǎn)式,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出∠ACB=90°,進(jìn)而得出AA'的中點(diǎn)恰好是點(diǎn)C,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出結(jié)論;
(3)分點(diǎn)P在直線BC下方和上方,判斷出點(diǎn)P在△ABC(或△A'BC的外接圓上,求出此圓的半徑和圓心O'的坐標(biāo),即可得出結(jié)論.
解:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0)、B(4,0),
∴拋物線的解析式為y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣x2+x+2,
(2)如圖,
由(1)知,拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2,
則點(diǎn)C(0,2),
∵B(4,0),A(﹣1,0),
∴OA=1,OB=4,
∴==,
∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴∠ACO=∠CBO,
∵∠OCB+∠OBC=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠ACB=90°,
由折疊知,點(diǎn)A'與A關(guān)于BC對(duì)稱,
則AA'與BC的交點(diǎn)恰為點(diǎn)C,
即點(diǎn)C是AA'的中點(diǎn),
設(shè)點(diǎn)A(m,n),
則=0,=2,
∴m=1,n=4,
∴A'(1,4);
(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí),
由(2)知,△ABC是以AB為斜邊的直角三角形,
作Rt△ABC的外接圓,則圓心為拋物線與x軸的交點(diǎn),記作O',
∴O'(,0),⊙O'半徑為,
∴O'P=,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,a),
∴O'P=﹣a,
∴﹣a=,
∴a=﹣,
∴P(,﹣);
如圖,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí),
由(2)知,A'(1,4),
由折疊知,△A'BC是以A'B為斜邊的直角三角形,作Rt△A'BC的外接圓,記圓心為O',O'是A'B的中點(diǎn),
∵B(4,0),
∴O'(,2),⊙O'的半徑為,
∵∠BPC=∠BAC,
∴點(diǎn)P在⊙O'上,
∴O'P=
設(shè)點(diǎn)P(,d)(d>1),
∴O'P==
∴d=2﹣(舍)或d=2+,
∴P(,2+),
即滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣)或(,2+).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),y是關(guān)于的二次函數(shù),拋物線經(jīng)過點(diǎn).拋物線經(jīng)過點(diǎn)拋物線經(jīng)過點(diǎn)拋物線經(jīng)過點(diǎn)則下列判斷:
①四條拋物線的開口方向均向下;
②當(dāng)時(shí),四條拋物線表達(dá)式中的均隨的增大而增大;
③拋物線的頂點(diǎn)在拋物線頂點(diǎn)的上方;
④拋物線與軸交點(diǎn)在點(diǎn)的上方.
其中正確的是
A.①②④B.①③④
C.①②③D.②③④
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【題目】復(fù)課返校后,為了讓同學(xué)們進(jìn)一步了解“新型冠狀病毒”的防控知識(shí),某學(xué)校組織了一次關(guān)于“新型冠狀病毒”的防控知識(shí)比賽,從問卷中隨機(jī)抽查了一部分,對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了分組統(tǒng)計(jì),并制作了如下表格與條形統(tǒng)計(jì)圖:
分組結(jié)果 | 頻數(shù) | 頻率 |
A.完全掌握 | 30 | 0.3 |
B.比較清楚 | 50 | |
C.不怎么清楚 | 0.15 | |
D.不清楚 | 5 | 0.05 |
請(qǐng)根據(jù)上圖完成下面題目:
(1)總?cè)藬?shù)為 人, , ;
(2)請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若全校有2700人,請(qǐng)你估算一下全校對(duì)“新型冠狀病毒”的防控知識(shí)“完全掌握”的人數(shù)有多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于氣溫,有的地方用攝氏溫度表示,有的地方用華氏溫度表示,攝氏溫度與華氏溫度之間是一次函數(shù)關(guān)系.如圖所示是一個(gè)家用溫度表的表盤、其左邊為攝氏溫度的刻度和讀數(shù)(單位),右邊為華氏溫度的刻度和讀數(shù)(單位).從溫度計(jì)的刻度上可以看出,攝氏溫度與華氏溫度部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:
··· | ··· | |||
··· | ··· |
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)攝氏溫度為零下時(shí),求華氏溫度為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,先有一張矩形紙片點(diǎn)分別在矩形的邊上,將矩形紙片沿直線MN折疊,使點(diǎn)落在矩形的邊上,記為點(diǎn),點(diǎn)落在處,連接,交于點(diǎn),連接.下列結(jié)論:
②四邊形是菱形;
③重合時(shí),;
④的面積的取值范圍是
其中正確的是_____(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上).
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【題目】如圖,是直徑,以為邊作等腰,且,與邊相交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),并交的延長線于點(diǎn).
(1)求證:是的切線.
(2)若,°,求由線段、及所圍成的圖形(陰影部分)面積.
(3)若,,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量河對(duì)岸兩顆大樹C、D之間的距離.如圖所示,在河岸A點(diǎn)測(cè)得大樹C位于正北方向上,大樹D位于北偏東42°方向上.再沿河岸向東前進(jìn)100米到達(dá)B處,測(cè)得大樹D位于北偏東31°方向上.求兩顆大樹C、D之間的距離.(結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,sin42°≈0.67,coo42°≈0.74,tan42°≈0.90).
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【題目】小明和小亮分別從同一直線跑道A、B兩端同時(shí)相向勻速出發(fā),第一次相遇后小明覺得自己速度太慢便立即提速至原速的1.5倍,然后勻速運(yùn)動(dòng)到B端,且小明到達(dá)B端后立即以提速后的速度調(diào)頭返回.小亮勻速跑步到A端后,立即按原速返回(忽略小明、小亮調(diào)頭時(shí)間),當(dāng)小明、小亮再次相遇時(shí)二人停止運(yùn)動(dòng).已知兩人相距的距離y(米)與小亮出發(fā)時(shí)間x(秒)之間的關(guān)系如圖所示,則第二次相遇時(shí)小明與B端的距離為______米.
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【題目】隨著寧波市江北區(qū)慈城古縣城旅游開發(fā)的推進(jìn),到慈城旅游的全國各地游客逐年上升.深受當(dāng)?shù)乩习傩障矏鄣膬煞N本土特產(chǎn)楊梅和年糕,也深受外地游客的青睞.現(xiàn)在,有兩種特產(chǎn)大禮包的組合是這樣的:若購買2筐楊梅和3盒年糕,則需花費(fèi)270元;若購買1筐楊梅和4盒年糕,則需花費(fèi)260元.(楊梅、年糕分別按包裝筐和包裝盒計(jì)價(jià))
(1)求一筐楊梅、一盒年糕的售價(jià)分別是多少元?
(2)如果需購買兩種特產(chǎn)共12件(1筐或1盒稱為1件),要求年糕的盒數(shù)不高于楊梅筐數(shù)的兩倍,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種購買方案,使所需總費(fèi)用最低.
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