Question

【題目】如圖，已知BO是△ABC的AC邊上的高，其中BO=8，AO=6，CO=4，點(diǎn)M以2個(gè)單位長度/秒的速度自C向A在線段CA上作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以5個(gè)單位長度/秒的速度自A向B在射線AB上作勻速運(yùn)動(dòng)，MN交OB于點(diǎn)P.當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

(1)線段AN的取值范圍是______.

(2)當(dāng)0＜t＜2時(shí)，

①求證：MN：NP為定值.

②若△BNP與△MNA相似，求CM的長.

(3)當(dāng)2＜t＜5時(shí)，若△BNP是等腰三角形，求CM的長.

Answer 1

【答案】(1)0<AN<25；(2)①證明見解析；定值為；②CM=；(3)CM=.

【解析】

（1）首先求出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路程即可．
（2）如圖1中，①過點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)AN=5k，CM=2k，用含k的代數(shù)式表示MH、OH即可解決問題；②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，由△MHN∽△MNA∽△BOA，列出比例式即可解決問題．
（3）過點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H， 設(shè)AN=5k，CM=2k，如圖2中，當(dāng)2＜t＜5時(shí)，點(diǎn)M在OA上，由PO∥HN，得 ，求出PO=k，根據(jù)BP=BN，列出方程即可解決問題．

（1）∵AC=OC+AO=10，
點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為2單位長度/秒，
∴t==5，

∵5×5=25，
∴0＜AN＜25．
故答案為0＜AN＜25；
（2）如圖1中，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，
①過點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)AN=5k，CM=2k，

∵NH∥BO，
∴，
∴AH=3k，

∴OH=6-3k，OM=4-2k，MH=10-5k，
∵PO∥NH，
∴；
②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，
△MHN∽△MNA∽△BOA，
∴，
∴ ，
∴k= ，
∴CM=；
（3）如圖2中，當(dāng)2＜t＜5時(shí)，

過點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)AN=5k，CM=2k，則BN=5k-10，

同（2）可得AH=3k，NH=4k，OH=3k-6，MO=2k-4，
∵PO∥HN，
∴，

∵MH=AH-AM=3k-(10-2k)=5k-10，
∴PO=k，
若BP=BN，則8-k=5k-10，

解得：k=，

∴CM=，
若PB=PN或BN=NP，

∵∠PBN＞90°，

∴不成立，
∴若△BNP是等腰三角形，CM的長為．