【題目】如圖(1),在△ABC中,如果正方形PQMN的邊QM在BC上,頂點(diǎn)P,N分別在AB,AC上,那么我們稱這樣的正方形為“三角形內(nèi)接正方形”小波同學(xué)按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作:如圖(2),任意畫△ABC,在AB上任取一點(diǎn)P′,畫正方形P′Q′M′N′,使Q′,M′在BC邊上,N′在△ABC內(nèi),連結(jié)BN′并延長交AC于點(diǎn)N,畫NM⊥BC于點(diǎn)M,NP⊥NM交AB于點(diǎn)P,PQ⊥BC于點(diǎn)Q,得到四邊形PQMN,小波把線段BN稱為“波利亞線”,請幫助小波解決下列問題:
(1)四邊形PQMN是否是△ABC的內(nèi)接正方形,請證明你的結(jié)論;
(2)若△ABC為等邊三角形,邊長BC=6,求△ABC內(nèi)接正方形的邊長;
(3)如圖(3),若在“波利亞線”BN上截取NE=NM,連結(jié)EQ,EM.當(dāng)時(shí),猜想∠QEM的度數(shù),并說明你的理由.
【答案】(1)四邊形PQMN是△ABC的內(nèi)接正方形,證明詳見解析;(2)12﹣18;(3)∠QEM=90°,理由詳見解析
【解析】
(1)首先證明四邊形PQMN是矩形,再證明MN=PN即可;
(2)根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式可得結(jié)論;
(3)證明△BQE∽△BEM,推出∠BEQ=∠BME,由∠BME+∠EMN=90°,可得∠BEQ+∠NEM=90°,即可解決問題.
解:(1)四邊形是的內(nèi)接正方形,理由是:
如圖2中,由畫圖可知,
四邊形是矩形,,
△,
同理可得:,
,
,
四邊形是正方形,即四邊形是的內(nèi)接正方形;
(2)如圖1,過作于,交于,設(shè)正方形的邊長為,
為等邊三角形,邊長,
高線,
四邊形是正方形,
,
,
即,解得:,
答:內(nèi)接正方形的邊長是;
(3)如圖3中,結(jié)論:.
理由:設(shè),,則,,,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),直線是拋物線的對稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在直線上確定一點(diǎn),使的周長最小,求出點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)時(shí),請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明的盒子中有2枚黑棋,x枚白棋,這些棋子除顏色外無其他差別,現(xiàn)從盒中隨機(jī)摸出一枚棋子(不放回),再隨機(jī)摸出一枚棋子.
(1)若“摸出兩枚棋子的顏色都是白色”是不可能事件,請寫出符合條件的一個(gè)x值 ;
(2)當(dāng)x=2時(shí),“摸出兩枚棋子的顏色相同”與“摸出兩枚棋子的顏色不同”的概率相等嗎?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解某校九年級學(xué)生的跳高水平,隨機(jī)抽取該年級50名學(xué)生進(jìn)行跳高測試,并把測試成績繪制成如圖所示的頻數(shù)表和未完成的頻數(shù)直方圖(每組含前一個(gè)邊界值,不含后一個(gè)邊界值).
(1)求a的值,并把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整;
(2)該年級共有500名學(xué)生,估計(jì)該年級學(xué)生跳高成績在1.29m(含1.29m)以上的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將圖中的型(正方形)、型(菱形)、型(等腰直角三角形)紙片分別放在個(gè)盒子中,盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同,再將這個(gè)盒子裝入一只不透明的袋子中.
(1)攪勻后從中摸出個(gè)盒子,盒中的紙片既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是 ;
(2)攪勻后先從中摸出個(gè)盒子(不放回),再從余下的個(gè)盒子中摸出個(gè)盒子,把摸出的個(gè)盒中的紙片長度相等的邊拼在一起,求拼成的圖形是軸對稱圖形的概率.(不重疊無縫隙拼接)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程:.
(1)求證:對于任意實(shí)數(shù),方程都有實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)為何值時(shí),方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形”.例如:凸四邊形中,若,則稱四邊形為準(zhǔn)平行四邊形.
(1)如圖①,是上的四個(gè)點(diǎn),,延長到,使.求證:四邊形是準(zhǔn)平行四邊形;
(2)如圖②,準(zhǔn)平行四邊形內(nèi)接于,,若的半徑為,求的長;
(3)如圖③,在中,,若四邊形是準(zhǔn)平行四邊形,且,請直接寫出長的最大值.
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