Question

已知：如圖，拋物線y=-

4

5

x2+mx+4與y軸交于點C，與x軸交于點A、B，（點A在點B的左側）且滿足OC=4OA．設拋物線的對稱軸與x軸交于點M：
（1）求拋物線的解析式及點M的坐標；
（2）聯接CM，點Q是射線CM上的一個動點，當△QMB與△COM相似時，求直線AQ的解析式．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令x=0求出點C的坐標，再求出OA的長度，然后寫出點A的坐標，代入拋物線求出m的值，即可得解，再利用對稱軸解析式求出點M的坐標即可；
（2）求出OM的長，再利用勾股定理列式求出CM，令y=0，解關于x的一元二次方程求出點B的坐標，得到OB的長度，再求出BM，然后分①∠BQM=90°時，△COM和△BQM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出BQ，過點Q作QD⊥x軸于D，解直角三角形求出BD、QD，然后求出OD，從而寫出點Q的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式解答；②∠MBQ=90°時，△COM和△QBM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出BQ，再寫出點Q的坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式解答．

解答：解：（1）令x=0，則y=4，
∴點C（0，4），
OC=4，
∵OC=4OA，
∴OA=1，
∴點A（-1，0），
把點A坐標代入拋物線y=-

4

5

x²+mx+4得，-

4

5

×（-1）²+m×（-1）+4=0，
解得m=

16

5

，
∴拋物線解析式為y=-

4

5

x²+

16

5

x+4，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

16 4

2×(- 4 5 )

=2，
∴點M的坐標為（2，0）；

（2）∵OM=2，OC=4，
∴CM=

22+42

=2

5

，
令y=0，則-

4

5

x²+

16

5

x+4=0，
整理得x²-4x-5=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴點B的坐標為（5，0），
∴OB=5，
∴BM=OB-OM=5-2=3，
如圖，①∠BQM=90°時，△COM和△BQM相似，
∴

CO

BQ

=

CM

BM

，
即

4

BQ

=

2 5

3

，
解得BQ=

6 5

5

，
過點Q作QD⊥x軸于D，
則BD=BQ•cos∠QBM=

6 5

5

×

4

2 5

=

12

5

，QD=BQ•sin∠QBM=

6 5

5

×

2

2 5

=

6

5

，
∴OD=OB-BD=5-

12

5

=

13

5

，
∴點Q的坐標為（

13

5

，-

6

5

），
設直線AQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 13 5 k+b=- 6 5

，
解得

k=- 1 3 b=- 1 3

，
∴直線AQ的解析式為y=-

1

3

x-

1

3

；

②∠MBQ=90°時，△COM和△QBM相似，
∴

CO

BQ

=

OM

BM

，
即

4

BQ

=

2

3

，
解得BQ=6，
∴點Q的坐標為（5，-6），
設直線AQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 5k+b=-6

，
解得

k=-1 b=-1

，
∴直線AQ的解析式為y=-x-1；
綜上所述，當△QMB與△COM相似時，直線AQ的解析式為y=-

1

3

x-

1

3

或y=-x-1．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了拋物線與坐標軸的交點坐標的求法，待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，相似三角形的性質，解直角三角形，難點在于（2）要分情況討論．