Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線c1：y=ax2﹣4a+4（a＜0）經(jīng)過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)P

（1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若a=﹣1，如圖1，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）是x軸上的點(diǎn)，N為拋物線c1上的點(diǎn)，Q為線段MN的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N在拋物線c1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線c2 ， 求拋物線c2的解析式；
（3）直線y=2x+b與拋物線c1相交于A、B兩點(diǎn)，如圖2，直線PA、PB與x軸分別交于D、C兩代女．當(dāng)PD=PC時(shí)，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=ax2﹣4a+4=a（x2﹣4）+4，該函數(shù)圖象過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)P，

∴x2﹣4=0，

解得 x=2或x=﹣2（舍去），

則y=4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，4）

（2）解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（xQ，yQ），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（xN，yN）．

∵M(jìn)（2，0）．

由點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)，可以求得，xN=2xQ﹣2，yN=2yQ．

∵a=﹣1，

∴拋物線c1的解析式為y=﹣x2+8．

∵點(diǎn)N在拋物線c1上，

∴yN=﹣xN2+8．

∴2yQ=﹣（2xQ﹣2）2+8，即yQ=﹣2xQ2+4xQ+2，

∴拋物線c2的解析式為：y=﹣2x2+4x+2．

（3）解：設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x1，ax12﹣4a+4）、B（x2，ax22﹣4a+4）．

又∵點(diǎn)A、B在直線y=2x+b上，

∴a（x1+x2）=2．

如圖，過點(diǎn)B作BG∥y軸，過點(diǎn)P作PG∥x軸，BG、PG相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AH∥x軸，過點(diǎn)P作PH∥y軸，AH、PH相交于點(diǎn)H．

∵PD=PC，

∴∠PDC=∠PCD．

∵AH∥x軸，

∴∠PAH=∠PDC．

同理，∠BPG=∠PCD，

∴∠AHP=∠PGB，

∴Rt△PGB∽R(shí)t△AHP，

∴ = ，即 = ，

∴x1+x2=﹣4，

∴a=﹣ ．

【解析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí). 解答第（2）題的技巧在于用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入其所在的拋物線的解析式，通過化簡可求得拋物線c2的解析式.