Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)線(xiàn)段BC的中點(diǎn)D交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D、E重合），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC所在直線(xiàn)于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（

4

3

，y）時(shí)，判斷四邊形PQEB的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）是否存在點(diǎn)P，使三角形PQE的面積為6？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）得到C（0，4），然后根據(jù)D是BC的中點(diǎn)，得到D（2，4），
最后反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求得k=8，從而得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)當(dāng)x=

4

3

時(shí)，得y=6，得到PQ=6-4=2，然后根據(jù)當(dāng)x=4時(shí)，得y=2，得到E（4，2），結(jié)合又PQ⊥BC，AB⊥BC，證得四邊形PQEB是平行四邊形；
（3）設(shè)P（x，

8

x

），分當(dāng)P在直線(xiàn)BC的上方，即0＜x＜2時(shí)、當(dāng)P在直線(xiàn)BC的下方且在點(diǎn)E的左側(cè)，即2＜x＜4時(shí)、當(dāng)P在直線(xiàn)BC的下方且在點(diǎn)E的右側(cè)，即x＞4時(shí)三種情況分類(lèi)討論即可得到答案．

解答：解：（1）∵正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），
∴C（0，4），
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴D（2，4），
∵反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，
∴k=8，
所以y=

8

x

（x＞0）；

（2）四邊形PQEB是平行四邊形，理由為：
當(dāng)x=

4

3

時(shí)，得y=6，
∴PQ=6-4=2，
又當(dāng)x=4時(shí)，得y=2，
∴E（4，2），
∴BE=2，
又PQ⊥BC，AB⊥BC，
所以BE平行且等于PQ，
∴四邊形PQEB是平行四邊形；
（3）存在點(diǎn)P，使△PQE的面積為6，設(shè)P（x，

8

x

），
①當(dāng)P在直線(xiàn)BC的上方，即0＜x＜2時(shí)，
∴PQ=

8

x

-4，BQ=4-x，
又三角形PQE的面積為6=

1

2

(

8

x

-4)（4-x）=6，
解得：x=1或x=8（舍去），
∴P（1，8）；
②當(dāng)P在直線(xiàn)BC的下方且在點(diǎn)E的左側(cè)，即2＜x＜4時(shí)，
∴PQ=4-

8

x

，PQ=4-x，
又三角形PQE的面積為6=

1

2

（4-

8

x

）（4-x）=6，
得x²-3x+8=0
∵△＜0，次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
故點(diǎn)P不存在；
③
當(dāng)P在直線(xiàn)BC的下方且在點(diǎn)E的右側(cè)，即x＞4時(shí)，
∴PQ=4-

8

x

，PQ=x-4，
又三角形PQE的面積為6=

1

2

（4-

8

x

）（x-4）=6，
解得：x=1（舍去）或x=8，
∴P（8，1）；
綜上，存在點(diǎn)P（1，8）或P（8，1），△PQE的面積為6；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，往往是中考的壓軸題，應(yīng)重點(diǎn)訓(xùn)練．