Question

如圖①②，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的等邊△CDE恰好與坐標(biāo)系中的△OAB重合，現(xiàn)將△CDE繞邊AB的中點G(G點也是DE的中點)，按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C₁DE的位置．

(1)求C₁點的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過三點O、A、C`的拋物線的解析式；

(3)如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，求切線BF的解析式；

(4)拋物線上是否存在一點M，使得S_△AMF∶S_△OAB＝16∶3．若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 (1)C`(3，)

  (2)∵拋物線過原點O(0，0)，設(shè)拋物線解析式為y＝ax²＋bx

把A(2，0)，C`(3，)帶入，得   解得a＝，b＝－

∴拋物線解析式為y＝x²－x

(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°

又AB＝2    ∴AF＝4    ∴OF＝2       ∴F(－2，0)

     設(shè)直線BF的解析式為y＝kx＋b

把B(1，)，F(xiàn)(－2，0)帶入，得    解得k＝，b＝

∴直線BF的解析式為y＝x＋

   (4)①當(dāng)M在x軸上方時，存在M(x，x²－x)

S△AMF：S△OAB＝[×4×(x²－x)]：[×2×4]＝16：3

得x²－2x－8＝0，解得x₁＝4，x₂＝－2

當(dāng)x₁＝4時，y＝×4²－×4＝；

當(dāng)x₁＝－2時，y＝×(－2)²－×(－2)＝

∴M₁(4，)，M₂(－2，)

②當(dāng)M在x軸下方時，不存在，設(shè)點M(x，x²－x)

  S△AMF：S△OAB＝[－×4×(x²－x)]：[×2×4]＝16：3

得x²－2x＋8＝0，b²－4ac＜0 無解

   綜上所述，存在點的坐標(biāo)為M₁(4，)，M₂(－2，)