【題目】如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=8,∠BAD=60°,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí),過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F,作EG∥AD交AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH⊥AD交AD(或AD的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)H,得到矩形EFHG,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒

(1)求線段EF的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示);

(2)求點(diǎn)H與點(diǎn)D重合時(shí)t的值;

(3)設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

(4)矩形EFHG的對(duì)角線EH與FG相交于點(diǎn)O′,當(dāng)OO′∥AD時(shí),t的值為 ;當(dāng)OO′⊥AD時(shí),t的值為

【答案】(1)EF=t;(2)t=;(3);(4)t=4;t=3.

【解析】

試題分析:(1)由題意知:AE=2t,由銳角三角函數(shù)即可得出EF=t;

(2)當(dāng)H與D重合時(shí),F(xiàn)H=GH=8﹣t,由菱形的性質(zhì)和EG∥AD可知,AE=EG,解得t=;

(3)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形需要分以下兩種情況討論:①當(dāng)H在線段AD上,此時(shí)重合的部分為矩形EFHG;②當(dāng)H在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí),重合的部分為五邊形;

(4)當(dāng)OO′∥AD時(shí),此時(shí)點(diǎn)E與B重合;當(dāng)OO′⊥AD時(shí),過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M,EF與OA相交于點(diǎn)N,然后分別求出O′M、O′F、FM,利用勾股定理列出方程即可求得t的值.

試題解析:(1)由題意知:AE=2t,0≤t≤4,∵∠BAD=60°,∠AFE=90°,∴sin∠BAD=,∴EF=t;

(2)∵AE=2t,∠AEF=30°,∴AF=t,當(dāng)H與D重合時(shí),此時(shí)FH=8﹣t,∴GE=8﹣t,∵EG∥AD,∴∠EGA=30°,∵四邊形ABCD是菱形,∴∠BAC=30°,∴∠BAC=∠EGA=30°,∴AE=EG,∴2t=8﹣t,∴t=;

(3)當(dāng)0≤t≤時(shí),此時(shí)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG,∴由(2)可知:AE=EG=2t,∴S=EFEG=t2t=

當(dāng)<t≤4時(shí),如圖1,設(shè)CD與HG交于點(diǎn)I,此時(shí)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為五邊形FEGID,∵AE=2t,∴AF=t,EF=t,∴DF=8﹣t,∵AE=EG=FH=2t,∴DH=2t﹣(8﹣t)=3t﹣8,∵∠HDI=∠BAD=60°,∴tan∠HDI=,∴HI=DH,∴S=EFEG﹣DHHI==;

綜上所述:;

(4)當(dāng)OO′∥AD時(shí),如圖2,此時(shí)點(diǎn)E與B重合,∴t=4;

當(dāng)OO′⊥AD時(shí),如圖3,過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M,EF與OA相交于點(diǎn)N,由(2)可知:AF=t,AE=EG=2t,∴FN=t,F(xiàn)M=t,∵O′O⊥AD,O′是FG的中點(diǎn),∴O′O是△FNG的中位線,∴O′O=FN=t,∵AB=8,∴由勾股定理可求得:OA=OM=,∴O′M=,∵FE=t,EG=2t,∴由勾股定理可求得:,∴由矩形的性質(zhì)可知:,∵由勾股定理可知:,∴,∴t=3或t=﹣6(舍去).

故答案為:t=4;t=3.

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請(qǐng)根據(jù)以圖表信息,解答下列問題:

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