Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A和B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M是拋物線上在x軸下方的動點，過M作MN∥y軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值；

（3）E是拋物線對稱軸上一點，F是拋物線上一點，是否存在以A，B，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2﹣4x+3;(2);(3)見解析.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法進行求解即可；

（2）設(shè)點M的坐標為（m，m2﹣4m+3），求出直線BC的解析，根據(jù)MN∥y軸，得到點N的坐標為（m，﹣m+3），由拋物線的解析式求出對稱軸，繼而確定出1＜m＜3，用含m的式子表示出MN，繼而利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；

（3）分AB為邊或為對角線進行討論即可求得.

（1）將點B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y＝x2+bx+c中，

得：，

解得：，

故拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；

（2）設(shè)點M的坐標為（m，m2﹣4m+3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3，

把點B（3，0）代入y＝kx+3中，

得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

∵MN∥y軸，

∴點N的坐標為（m，﹣m+3），

∵拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸為x＝2，

∴點（1，0）在拋物線的圖象上，

∴1＜m＜3．

∵線段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，

∴當m＝時，線段MN取最大值，最大值為；

（3）存在．點F的坐標為（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．

當以AB為對角線，如圖1，

∵四邊形AFBE為平行四邊形，EA＝EB，

∴四邊形AFBE為菱形，

∴點F也在對稱軸上，即F點為拋物線的頂點，

∴F點坐標為（2，﹣1）；

當以AB為邊時，如圖2，

∵四邊形AFBE為平行四邊形，

∴EF＝AB＝2，即F2E＝2，F1E＝2，

∴F1的橫坐標為0，F2的橫坐標為4，

對于y＝x2﹣4x+3，

當x＝0時，y＝3；

當x＝4時，y＝16﹣16+3＝3，

∴F點坐標為（0，3）或（4，3），

綜上所述，F點坐標為（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．