Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，底角為a，以腰BC為直徑作圓，與另一腰切于點(diǎn)M，交較長(zhǎng)底邊AB于點(diǎn)E，則

BE

AE

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：作EH⊥AD于H，連結(jié)OM、CE、OE，如圖，設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)圓周角定理得到∠CEB=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥AD，接著根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得∠ABC=∠A=α，由于∠OEB=∠B=α，則∠OEB=∠A，所以O(shè)E∥AD，于是可判斷四邊形OMHE為正方形，得到HE=OE=R，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，在Rt△AEH中得到AE=

R

sinα

，在Rt△BCE中得到BE=2Rcosα，然后計(jì)算

BE

AE

的值．

解答：解：作EH⊥AD于H，連結(jié)OM、CE、OE，如圖，設(shè)⊙O的半徑為R，
∵BC為直徑，
∴∠CEB=90°，
∵AD為⊙O的切線，
∴OM⊥AD，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠ABC=∠A=α，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠B=α，
∴∠OEB=∠A，
∴OE∥AD，
∴四邊形OMHE為矩形，
而OM=OE，
∴四邊形OMHE為正方形，
∴HE=OE=R，
在Rt△AEH中，∵sinA=

HE

AE

，
∴AE=

R

sinα

，
在Rt△BCE中，∵cosB=

BE

BC

，
∴BE=2Rcosα，
∴

BE

AE

=

2Rcosα

R sinα

=2sinαcosα．
故答案為2sinαcosα．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．合理構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算是關(guān)鍵．