Question

2．有公共頂點A的△ABD，△ACE都是的等邊三角形．
（1）如圖1，將△ACE繞頂點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)E，C，B共線時，求∠BCD的度數(shù)；
（2）如圖2，將△ACE繞頂點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ACD=90°時，延長EC角BD于F，
①求證：∠DCF=∠BEF；
②寫出線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由等邊三角形得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，從而判斷出∠DAC=∠BAE，得到△DAC≌△BAE，最后用平角的定義即可；
（2）①同（1）的方法判斷出△DAC≌△BAE，再用直角三角形的性質(zhì)即可；
②作出輔助線，利用①的結(jié)論即可得出DF=BF．

解答 解：∵△ABD，ACE都是等邊三角形，
∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠E=60°，
∵E，C，B共線，
∴∠BCD=180°-∠ACD-∠ACE=60°；
（2）①∵△ABD，ACE都是等邊三角形，
∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE
∵∠DAC=∠DAB-∠BAC，∠BAE=∠CAE-∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠AEB=∠ACD=90°，
∴∠BEC=∠AEB-∠AEC=90°-60°=30°，
∵∠DCF=180°-∠ACD-∠ACE=30°，
∴∠DCF=∠BEF；
②DF=BF，
理由：如圖，

在EF上取一點G，使BG=BF，
∴∠GFB=∠FGB，
∴∠DFC=∠BGE，
由（1）知，△DAC≌△BAE，CD=EB，
∠DCF=∠BEC，
∴△DCF≌△BGE，
∴DF=BG，
∴DF=BF．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是∠DAC=∠BAE．