Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、C；拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點，并與x軸交于另一點A．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)P（m，n）是（1）中所得拋物線上的一個動點，且點P位于第一象限．過點P作直線l⊥x軸于點M，交BC于點N．
①試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時m的值；若不存在，請說明理由；
②若△PBC是以BC為底邊的等腰三角形，試求點P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式列式求解即可；
（2）①根據(jù)拋物線解析式與直線解析式表示出點P、N的坐標(biāo)，然后用含有m的式子表示出PN，整理并根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
②根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知點P在BC的垂直平分線上，再根據(jù)點B、C的坐標(biāo)可知BC的垂直平分線也是∠BOC的平分線，然后根據(jù)點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等列出方程求解即可．
解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=3，
當(dāng)y=0時，-x+3=0，解得x=3，
所以，點B、C的坐標(biāo)分別為B（3，0），C（0，3），（2分）
∴，
解得，
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+2x+3；（4分）

（2）①∵點P（m，n）在拋物線y=-x²+2x+3上，且PN⊥x軸，
∴可設(shè)點P（m，-m²+2m+3），
同理可設(shè)點N（m，-m+3），（5分）
∴PN=PM-NM=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m=-（m-）²+，（8分）
∴當(dāng)m=時，線段PN的長度的最大值為；（9分）
②由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，又由（1）知，OB=OC，
∴BC的垂直平分線同時也是∠BOC的平分線，（10分）
∴m=-m²+2m+3，
整理得，m²-m-3=0，
解得m₁=，m₂=（不合題意舍去）．
∴點P的橫坐標(biāo)為．（12分）
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要有直線與坐標(biāo)軸的交點的求解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，（2）中根據(jù)點B、C的坐標(biāo)，OB與OC恰好相等是解題關(guān)鍵．