Question

【題目】如圖：拋物線y=－ +bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且∠BAC=α，∠ABC= ，tanα－tanβ=2，∠ACB=90°．

（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若拋物線的頂點為P，求四邊形ABPC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A（x1，0）， B（x2，0），C（0，b） x1＜0，x2＞0，b＞0

∵ 、 是－ +ax+b=0的兩根

∴ + =a， =b

在Rt△ABC中，OC⊥AB

∴OC2=OA·OB

OA=－ ，OB=

∴ =－ =b

∵

∴b=1

∴C（0，1）

（2）解：Rt△AOC和Rt△BOC中，

tanα－tanβ= ∴a=2

∴拋物線的解析式為：y=－ +2x+1

（3）解：∵y=－ +2x+1 ∴頂點P的坐標為（1，2）

當－ +2x+1=0時x=1± ∴A（1－ ，0） B（1+ ，0）

延長PC交x軸于D，直線PC為：y=x+1，點D的坐標為（-1，0）

S四邊形ABCD=S△DPB-S△DCA= DB·yp- AD·yc= （2+ ）×2- （2- ）×1 =

【解析】（1）設A（x1，0）， B（x2，0），C（0，b） x1＜0，x2＞0，b＞0，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系知 x 1 、 x 2 是－ x 2 +ax+b=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關系得 x 1 + x 2 =a， x 1 x 2 =b，判斷出△AOC與△COB相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出OC2=OA·OB，從而得出b 2 =－ x 1 x 2 =b，又因 b > 0，故b=1，從而得出C點的坐標；
（2）Rt△AOC和Rt△BOC中，tanα－tanβ===--==2,故a=2，從而得出拋物線的解析式為：y=－ x 2 +2x+1；
（3）首先求出拋物線的頂點P的坐標，然后根據(jù)坐標軸上點的坐標特點得出A,B的坐標，用待定系數(shù)法求出直線PC，進而找到D點的坐標，然后根據(jù)S四邊形ABCD=S△DPB-S△DCA算出結果
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用根與系數(shù)的關系和確定一次函數(shù)的表達式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法．