【題目】如圖①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D為邊AC上一點,DE⊥AB于點E,點H為BD中點,CH的延長線交AB于點F.
(1)求證:CH=EH;
(2)若∠CAB=40°,求∠EHF;
(3)如圖②,若△DAE≌△CEH,點Q為CH的中點,連接AQ,求證:AQ∥EH.
【答案】(1)見解析;(2)∠EHF=80°;(3)見解析
【解析】
(1)根據直角三角形斜邊中線的性質證明即可.
(2)先根據等腰三角形的性質得:∠HCB=∠HBC,∠HEB=∠HBE,由三角形外角的性質得:∠DHC=2∠HBC,∠DHE=2∠HBE,從而有∠CHE=2∠CBA,計算∠CBA=50°,根據平角的定義可得結論;
(3)如圖②,連接AH,先證明AE=ED=EH=DH=CH,得△DEH是等邊三角形,所以∠DHC=30°,∠AEH=150°,再證明AC=AH,根據等腰三角形三線合一可得AQ⊥CH,最后根據同位角相等,兩直線平行可得結論.
(1)證明:如圖①,∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
在Rt△DEB和Rt△DCB中,∠DEB=∠DCB=90°,H為BD的中點,
∴EH=BD,CH=BD,
∴EH=CH;
(2)解:∵H為BD的中點,
∴BH=BD,
∴BH=EH=CH,
∴∠HCB=∠HBC,∠HEB=∠HBE,
在△CHB和△EHB中,
∠DHC=∠HCB+∠HBC,∠DHE=∠HEB+∠HBE,
∴∠DHC=2∠HBC,∠DHE=2∠HBE,
∴∠CHE=2∠CBA,
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,
∴∠A+∠CBA=90°,
∵∠A=40°,
∴∠CBA=50°,
∴∠CHE=100°,
∴∠EHF=80°;
(3)證明:如圖②,連接AH,
∵△DAE≌△CEH,
∴AE=EH,∠AED=∠EHC=90°,
∵HC=HE,DH=BD,
∴AE=ED=EH=DH=CH,
∴△DEH是等邊三角形,
∴∠DEH=∠DHE=60°,
∴∠DHC=∠EHC﹣∠EHD=30°,∠AEH=∠AED+∠DEH=150°,
∵AE=EH,DH=CH,
∴∠EHA=(180°﹣∠AEH)÷2=15°,
∠HCD=(180°﹣∠DHC)÷2=75°,
∴∠AHC=∠EHC﹣∠EHA=75°,
∴∠AHC=∠ACH=75°,
∴AC=AH,
∵Q是CH的中點,
∴AQ⊥CH,
∴∠AQC=90°,
∴∠AQC=∠EHC,
∴AQ∥EH.
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【題目】蘭州市外國語學校開展“數學史”知識競賽活動,八年級(1)、(2)班根據初賽成績,各選出5名選手參加復賽,兩個班各選出的5名選手的復賽成績(滿分為100分)如圖所示:
(1)請計算八(1)班、八(2)班選出的5名選手復賽的平均成績?眾數和中位數?
(2)請用方差判斷哪個班選出的5名選手的復賽成績比較穩(wěn)定?
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【題目】如圖是拋物線圖象的一部分,拋物線的頂點坐標,與軸的一個交點,直線與拋物線交于,兩點,下列結論:
①;②;③方程有兩個相等的實數根;④拋物線與軸的另一個交點是;⑤當時,有,
其中正確的是________.
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【題目】如圖,在正方形網格中,△ABC和△DEF相似,則關于位似中心與相似比敘述正確的是( 。
A. 位似中心是點B,相似比是2:1 B. 位似中心是點D,相似比是2:1
C. 位似中心在點G,H之間,相似比為2:1 D. 位似中心在點G,H之間,相似比為1:2
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為10,點E、F分別在邊BC、CD上,且∠EAF=45°,AH⊥EF于點H,AH=10,連接BD,分別交AE、AH、AF于點P、G、Q.
(1)求△CEF的周長;
(2)若E是BC的中點,求證:CF=2DF;
(3)連接QE,求證:AQ=EQ.
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【題目】由邊長相等的小正方形組成的網格,以下各圖中點A、B、C、D都在格點上.
(1)在圖1中,PC:PB= ;
(2)利用網格和無刻度的直尺作圖,保留痕跡,不寫作法.
①如圖2,在AB上找點P,使得AP:PB=1:3;
②如圖3,在BC上找點P,使得△APB∽△DPC;
③如圖4,在△ABC中內找一點P,連接PA、PB、PC,將△ABC分成面積相等的三部分.
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【題目】如圖,矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的內部,AB∥A'B',AD∥A'D',且AD=12,AB=6,設AB與A'B'、BC與B'C'、CD與C'D'、DA與D'A'之間的距離分別為a,b,c,d,
(1)a=b=c=d=2,矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD嗎,為什么?
(2)若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD,a,b,c,d應滿足什么等量關系?請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,D為BC邊的中點,BE⊥AB交AD的延長線于點E,CF平分∠ACB交AD于點F,連接CE.求證:(1)點D是EF的中點;(2)△CEF是等腰三角形.
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