(2008•自貢)如圖,A、B為⊙O上的點,AC是弦,CD是⊙O的切線,C為切點,AD⊥CD于點D,若AC為∠BAD的平分線.
求證:(1)AB為⊙O的直徑;(2)AC2=AB•AD.

【答案】分析:(1)要證明AB是直徑,只需連接BC,證明∠ACB=90°,根據(jù)弦切角定理和角平分線的定義發(fā)現(xiàn)三角形ABC和三角形ACD中的兩個角對應(yīng)相等,即可得到第三個角對應(yīng)相等;
(2)根據(jù)(1)中的過程,顯然發(fā)現(xiàn)兩個三角形相似,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等證明結(jié)論.
解答:證明:(1)連接BC,
AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠CAB.
又CD切⊙O于點C,
∴∠ACD=∠B(弦切角定理).
∵AD⊥CD,
∴∠ACD+∠DAC=90°.
即∠B+∠CAB=90°,∴∠BCA=90°.
∴AB是⊙O的直徑(90°圓周角所對弦是直徑).

(2)∵∠ACD=∠B,∠DAC=∠CAB,
∴△ACD∽△ABC.

∴AC2=AB•AD.
點評:熟練運用弦切角定理和相似三角形的性質(zhì)和判定.
練習(xí)冊系列答案
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A.4
B.
C.
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