Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，點D是BC邊上的點，CD=

3

，將△ABC沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則△PEB的周長的最小值是

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：連接CE，交AD于M，根據(jù)折疊和等腰三角形性質(zhì)得出當P和D重合時，PE+BP的值最小，即可此時△BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE長，代入求出即可．

解答：解：連接CE，交AD于M，
∵沿AD折疊C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E關于AD對稱，CD=DE=

3

，
∴當P和D重合時，PE+BP的值最小，即此時△BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=60°，
∵DE=

3

，
∴BE=1，BD=2，
即BC=2+

3

，
∴△PEB的周長的最小值是BC+BE=2+

3

+1=3+

3

．
故答案為：3+

3

．

點評：本題考查了折疊性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用，關鍵是求出P點的位置，題目比較好，難度適中．