Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點P從點A開始沿AC邊向點C勻速移動，點Q從點A開始沿AB邊向點B，再沿BC邊向點C勻速移動．若P、Q兩點同時從點A出發(fā)，則可同時到達點C．
（1）如果P、Q兩點同時從點A出發(fā)，以原速度按各自的移動路線移動到某一時刻同時停止移動，當點Q移動到BC邊上（Q不與C重合）時，求作以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程；
（2）如果P、Q兩點同時從點A出發(fā)，以原速度按各自的移動路線移動到某一時刻同時停止移動，當S_△PBQ=

12

5

時，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）首先由勾股定理求出BC的長度，然后根據(jù)已知條件若P、Q兩點同時從點A出發(fā)，則可同時到達點C，得出在相等的時間之內(nèi)，Q點運動的路程是P點運動路程的2倍．如果作QH⊥AC，垂足為H，設(shè)P點移動的路程為x，Q點移動的路程為2x．那么根據(jù)正切函數(shù)的定義可分別求出tan∠QCA、tan∠QPA的值，再由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程．
（2）如果P、Q兩點同時從點A出發(fā)，當S_△PBQ=

12

5

時，點Q的位置可能有兩種情況：①點Q在AB上；②點Q在BC上．針對每一種情況，均可根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程（設(shè)PA=x），求出的符合題意的解即為所求．

解答：解：在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵P、Q兩點從點A同時出發(fā)，可同時到達點C，
∴

Sp

Sq

=

8

6+10

=

1

2

（1分）
（1）設(shè)P點移動的路程為x，Q點移動的路程為2x．
∴CP=8-x，BQ=2x-6，CQ=16-2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足為H（如右下圖）．
∵∠A=90°，∴QH∥AB，
∴

QH

AB

=

CQ

CB

=

CH

AC

∴QH=

6

5

(8-x)，CH=

8

5

(8-x)
∴PH=CH-CP=

3

5

（8-x），
∴tan∠QPA=

QH

PH

=2．（1分）
∵tan∠QCA=

3

4

，
∴tan∠QPA+tan∠QCA=

11

4

，
tan∠QPA•tan∠QCA=

3

2

，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程為
y²-

11

4

y+

3

2

=0即4y²-11y+6=0．（1分）

（2）當S_△PBQ=

12

5

時，設(shè)PA=x，點Q的位置有兩種情況：
①當點Q在AB上時（如圖），
則AQ=2x，BQ=6-2x．
S_△PBQ=

1

2

PA•BQ
=

1

2

x(6-2x)
=

12

5

，
∴x2-3x+

12

5

=0，
∵△=9-

48

5

＜0，
∴此方程無實根，故點Q不能在AB上；（2分）
②當點Q在BC邊上時（如圖），
則QB=2x-6．
作PG⊥BC，垂足為G，
∴△PCG∽△BCA，
∴

PG

BA

=

PC

BC

，
∴PG=

3

5

(8-x)，
∴S_△PBQ=

1

2

QB•PG
=

1

2

•(2x-6)•

3

5

(8-x)
=

12

5

．
∴x²-11x+28=0，
解得：x₁=4，x₂=7．
∴S_△PBQ=

12

5

時，PA=4或7．（2分）

點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，勾股定理、正切函數(shù)的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識，綜合性較強，難度較大．注意在求第二問時，雖然點Q不能在AB上，但是在討論時，不能遺漏這種情況．