Question

8．如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關(guān)于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F．下列結(jié)論：
①CE=CF；
②線段EF的最小值為2$\sqrt{3}$；
③當(dāng)AD=2時，EF與半圓相切；
④若點F恰好落在弧BC上，則AD=2$\sqrt{5}$；
⑤當(dāng)點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是16$\sqrt{3}$．
其中正確結(jié)論的序號是①③⑤．

Answer 1

分析 （1）由點E與點D關(guān)于AC對稱可得CE=CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE=CF．
（2）根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD=OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進而可求出∠ECO=90°，從而得到EF與半圓相切．
（4）利用相似三角形的判定與性質(zhì)可證到△DBF是等邊三角形，只需求出BF就可求出DB，進而求出AD長．
（5）首先根據(jù)對稱性確定線段EF掃過的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關(guān)系，就可求出線段EF掃過的面積．

解答 解：①連接CD，如圖1所示．
∵點E與點D關(guān)于AC對稱，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CD=CF，
∴CE=CD=CF，
∴結(jié)論“CE=CF”正確；

②當(dāng)CD⊥AB時，如圖2所示；
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4$\sqrt{3}$．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$；
根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得：
點D在線段AB上運動時，CD的最小值為2$\sqrt{3}$，
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD，
∴線段EF的最小值為4$\sqrt{3}$，
∴結(jié)論“線段EF的最小值為2$\sqrt{3}$”錯誤．

③當(dāng)AD=2時，連接OC，如圖3所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等邊三角形，
∴CA=CO，∠ACO=60°，
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2，
∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°，
∵點E與點D關(guān)于AC對稱，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，
∴OC⊥EF，
∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF與半圓相切，
∴結(jié)論“EF與半圓相切”正確；

④當(dāng)點F恰好落在$\widehat{BC}$上時，連接FB、AF，如圖4所示，
∵點E與點D關(guān)于AC對稱，
∴ED⊥AC，
∴∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠ACB，
∴ED∥BC，
∴△FHC∽△FDE，
∴$\frac{FH}{FD}$=$\frac{FC}{FE}$，
∵FC=$\frac{1}{2}$EF，
∴FH=$\frac{1}{2}$FD，
∴FH=DH，
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°，
∴BF=BD，
∴∠FBH=∠DBH=30°，
∴∠FBD=60°，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB=30°，
∴FB=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴DB=4，
∴AD=AB-DB=4，
∴結(jié)論“AD=2$\sqrt{5}$”錯誤；

⑤∵點D與點E關(guān)于AC對稱，
點D與點F關(guān)于BC對稱，
∴當(dāng)點D從點A運動到點B時，
點E的運動路徑AM與AB關(guān)于AC對稱，
點F的運動路徑NB與AB關(guān)于BC對稱，
∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分，
∴S_陰影=2S_△ABC
=2×$\frac{1}{2}$AC•BC
=AC•BC
=4×4$\sqrt{3}$
=16$\sqrt{3}$，
∴EF掃過的面積為16$\sqrt{3}$，
∴結(jié)論“EF掃過的面積為16$\sqrt{3}$”正確，
故答案為：①③⑤．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對稱的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、垂線段最短等知識，綜合性強，有一定的難度．