Question

2．已知：如圖，直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸、y軸分別相交于點A、B，點C的坐標(biāo)是（-2，0）．
（1）請直接寫出AB的長度；
（2）現(xiàn)有一動點P從B出發(fā)由B向C運動，另一動點Q從A出發(fā)由A向B運動，兩點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位，當(dāng)P運動到C時停止．設(shè)從出發(fā)起運動了t秒，△APQ的面積為S．
①試求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍？
②問當(dāng)t為何值時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先求出A、B坐標(biāo)，關(guān)鍵勾股定理即可解決問題．
（2）①如圖，作QM⊥y軸于點嗎，QN⊥x軸于N，由△AMQ∽△AOB，得$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AM}{AO}$求出AM，MQ，根據(jù)S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PQB即可解決問題．
②i）AP=AQ時，根據(jù)AP²=AQ²，列出方程解決問題．
ii）當(dāng)PA=PQ時，根據(jù)PA²=PQ²，列出方程解決問題．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸、y軸分別相交于點A、B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
（2）①如圖，作QM⊥y軸于點嗎，QN⊥x軸于N，
∵QM∥OB，
∴△AMQ∽△AOB，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AM}{AO}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{QM}{3}$=$\frac{AM}{4}$，
∴QM=$\frac{3}{5}$t，AM=$\frac{4}{5}$t，OM=4-$\frac{4}{5}$t，CP=5-t，
∵四邊形ONQM是矩形，
∴QN=OM，MQ=ON，
∴S_△ACP=$\frac{1}{2}$CP•AO=10-2t，S_△QPB=$\frac{1}{2}$PB•QN=2t-$\frac{2}{5}$t²，
∴S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PQB=$\frac{2}{5}$t²（0＜t≤5）．
②在RT△APO中，AP²=PO²+AO²=（t-3）²+4²，
由①可知NB=3-$\frac{3}{5}$t，
在RT△PQN中，PN=PB-BN=$\frac{8}{5}$t-3，
∴PQ²=PN²+QN²=（$\frac{8}{5}$t-3）²+（4-$\frac{4}{5}$t）²，
i）當(dāng)AP=AQ時，AP²=AQ²，即（t-3）²+4²=t²，解得t=$\frac{25}{6}$，
ii）當(dāng)PA=PQ時，PA²=PQ²，即（t-3）²+4²=（$\frac{8}{5}$t-3）²+（4-$\frac{4}{5}$t）²，解得t=$\frac{50}{11}$或0（舍棄）．
綜上所述t=$\frac{25}{6}$或$\frac{50}{11}$時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求面積，學(xué)會分類討論，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程解決問題，不能漏解，屬于中考壓軸題．