Question

對于二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線L．現(xiàn)有點A（2，0）和拋物線L上的點B（-1，n），請完成下列任務：
【嘗試】
（1）當t=2時，拋物線y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的頂點坐標為

 

；
（2）判斷點A是否在拋物線L上；
（3）求n的值；
【發(fā)現(xiàn)】
通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線L總過定點，坐標為

 

．
【應用】
二次函數(shù)y=-3x²+5x+2是二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：【嘗試】
（1）將t的值代入“再生二次函數(shù)”中，通過配方可得到頂點的坐標；
（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證即可；
（3）已知點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【發(fā)現(xiàn)】
將拋物線l展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數(shù)值產(chǎn)生影響），即可求出這個定點的坐標．
【應用1】
將【發(fā)現(xiàn)】中得到的兩個定點坐標代入二次函數(shù)y=-3x²+5x+2中進行驗證即可．

解答：解：【嘗試】
（1）∵將t=2代入拋物線l中，得：y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x²-4x=2（x-1）²-2，
∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，-2）．
（2）∵將x=2代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴點A（2，0）在拋物線l上．
（3）將x=-1代入拋物線l的解析式中，得：
n=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．

【發(fā)現(xiàn)】
∵將拋物線E的解析式展開，得：
y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4
∴拋物線l必過定點（2，0）、（-1，6）．

【應用1】
將x=2代入y=-3x²+5x+2，y=0，即點A在拋物線上．
將x=-1代入y=-3x²+5x+2，計算得：y=-6≠6，
即可得拋物線y=-3x²+5x+2不經(jīng)過點B，
二次函數(shù)y=-3x²+5x+2不是二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”．

點評：考查了二次函數(shù)的綜合知識，該題通過新定義的形式考查了二次函數(shù)等綜合知識，理解新名詞的含義尤為關鍵．最后一題的綜合性較強，通過幾何知識找出C、D點的坐標是此題的難點所在．