Question

函數(shù)y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值函數(shù)的最值

專題：

分析：分別求出當(dāng)x≥1和當(dāng)x≤

1

10

時，y的最小值，然后求出當(dāng)

1

n+1

≤x≤

1

n

（n=1…9）時，y=（-n²-n+55）x+2n-10，分析得出x=

1

7

時，y有最小值，求出最小值即可．

解答：解：當(dāng)x≥1時，y=55x-10，
當(dāng)x=時，y有最小值45；
當(dāng)x≤

1

10

時，y=10-55x，
當(dāng)x取

1

10

時，y有最小值4.5；
當(dāng)

1

n+1

≤x≤

1

n

（n=1…9）時：
y=（1-x）+…+（1-nx）+[（n+1）x-1]+…+（10x-1）
=2n-10+[1+2+…+n-（n+1）-…-10]x
=2n-10+[55-n（n+1）]x
=（-n²-n+55）x+2n-10，
當(dāng)n≤6時，
-n²-n+55≥55-42=13＞0，
∵

1

n+1

≤x≤

1

n

，
∴x＞

1

7

時，y隨x增加而變大；
當(dāng)n≥7時，
-n²-n+55≤55-56=-1＜0，
∵

1

n+1

≤x≤

1

n

，
∴x＜

1

7

時，y隨x增加而變小，
∴當(dāng)x=

1

7

時，y有最小值為：

27

7

．
故答案為：

27

7

．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生的邏輯思維能力和歸納能力，關(guān)鍵是注意分情況討論，求出當(dāng)x＞

1

7

時，y隨x增加而變大，x＜

1

7

時，y隨x增加而變小，最終求出最大值，難度較大．