Question

【題目】隨著生活水平的提高，人們對(duì)飲水品質(zhì)的需求越來越高，某市某公司根據(jù)市場(chǎng)需求代理A，B兩種型號(hào)的凈水器，每臺(tái)A型凈水器比每臺(tái)B型凈水器進(jìn)價(jià)多200元，用5萬元購(gòu)進(jìn)A型凈水器與用4.5萬元購(gòu)進(jìn)B型凈水器的數(shù)量相等，

（1）求每臺(tái)A型、B型凈水器的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）該公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的凈水器共55臺(tái)進(jìn)行試銷，其中A型凈水器為m臺(tái)，購(gòu)買兩種凈水器的總資金不超過10.8萬元．試銷時(shí)A型凈水器每臺(tái)售價(jià)2500元，B型凈水器每臺(tái)售價(jià)2180元，該公司決定從銷售A型凈水器的利潤(rùn)中按每臺(tái)捐獻(xiàn)a（70＜a＜80）元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金，設(shè)該公司售完55臺(tái)凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的利潤(rùn)為W元，求W的最大值．

Answer 1

【答案】（1）每臺(tái)甲型凈水器的進(jìn)價(jià)是2000元，每臺(tái)乙型凈水器的進(jìn)價(jià)是1800元；（2）W最大值為（26300﹣45a）元．

【解析】

（1）設(shè)每臺(tái)乙型凈水器的進(jìn)價(jià)是x元，則每臺(tái)甲型凈水器的進(jìn)價(jià)是（x+200）元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合用5萬元購(gòu)進(jìn)A型凈水器與用4.5萬元購(gòu)進(jìn)B型凈水器的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)購(gòu)買資金=A型凈水器的進(jìn)價(jià)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量+B型凈水器的進(jìn)價(jià)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量結(jié)合購(gòu)買資金不超過10.8萬元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，由總利潤(rùn)=每臺(tái)A型凈水器的利潤(rùn)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量+每臺(tái)B型凈水器的利潤(rùn)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量-a×購(gòu)進(jìn)A型凈水器的數(shù)量，即可得出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解：（1）設(shè)每臺(tái)乙型凈水器的進(jìn)價(jià)是x元，則每臺(tái)甲型凈水器的進(jìn)價(jià)是（x+200）元，

依題意，得：，

解得：x＝1800，

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1800是原分式方程的解，且符合題意，

∴x+200＝2000．

答：每臺(tái)甲型凈水器的進(jìn)價(jià)是2000元，每臺(tái)乙型凈水器的進(jìn)價(jià)是1800元；

（2）購(gòu)進(jìn)甲型凈水器m臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)乙型凈水器（55﹣m）臺(tái)，

依題意，得：2000m+1800（55﹣m）≤108000，

解得：m≤45．

W＝（2500﹣2000﹣a）m+（2180﹣1800）（55﹣m）＝（120﹣a）m+20900，

∵120﹣a＞0，

∴W隨m值的增大而增大，

∴當(dāng)m＝45時(shí)，W取得最大值，最大值為（26300﹣45a）元．