【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A,B兩點(diǎn),交x軸于C、D兩點(diǎn),連接AC、BC,已知A(0,3),C(﹣3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線對(duì)稱軸l上找一點(diǎn)M,使|MB﹣MD|的值最大,并求出這個(gè)最大值;
(3)點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式是y=x2+x+3;(2)|MB﹣MD|取最大值為;(3)存在點(diǎn)P(1,6).
【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)對(duì)稱性,可得MC=MD,根據(jù)解方程組,可得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)兩邊之差小于第三邊,可得B,C,M共線,根據(jù)勾股定理,可得答案;
(3)根據(jù)等腰直角三角形的判定,可得∠BCE,∠ACO,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得關(guān)于x的方程,根據(jù)解方程,可得x,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案.
(1)將A(0,3),C(﹣3,0)代入函數(shù)解析式,得
,解得,
拋物線的解析式是y=x2+x+3;
(2)由拋物線的對(duì)稱性可知,點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,
∴對(duì)l上任意一點(diǎn)有MD=MC,
聯(lián)立方程組 ,
解得(不符合題意,舍),,
∴B(﹣4,1),
當(dāng)點(diǎn)B,C,M共線時(shí),|MB﹣MD|取最大值,即為BC的長(zhǎng),
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,
,
在Rt△BEC中,由勾股定理,得
BC=,
|MB﹣MD|取最大值為;
(3)存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,
在Rt△BEC中,∵BE=CE=1,
∴∠BCE=45°,
在Rt△ACO中,
∵AO=CO=3,
∴∠ACO=45°,
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°,
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于Q點(diǎn),∠PQA=90°,
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+x+3)(x>0)
①當(dāng)∠PAQ=∠BAC時(shí),△PAQ∽△CAB,
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,
∴△PGA∽△BCA,
∴,即,
∴,
解得x1=1,x2=0(舍去),
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為×12+×1+3=6,
∴P(1,6),
②當(dāng)∠PAQ=∠ABC時(shí),△PAQ∽△CBA,
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠ABC,
∴△PGA∽△ACB,
∴,
即=3,
∴,
解得x1=﹣(舍去),x2=0(舍去)
∴此時(shí)無(wú)符合條件的點(diǎn)P,
綜上所述,存在點(diǎn)P(1,6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為10和15,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)0<t<5時(shí),用含t的式子填空:
BP=_______,AQ=_______;
(2)當(dāng)t=2時(shí),求PQ的值;
(3)當(dāng)PQ=AB時(shí),求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某汽車專賣店銷售A,B兩種型號(hào)的新能源汽車.上周售出1輛A型車和3輛B型車,銷售額為96萬(wàn)元;本周已售出2輛A型車和1輛B型車,銷售額為62萬(wàn)元.
(1)求每輛A型車和B型車的售價(jià)各為多少萬(wàn)元?
(2)甲公司擬向該店購(gòu)買A,B兩種型號(hào)的新能源汽車共6輛,且A型號(hào)車不少于2輛,購(gòu)車費(fèi)不少于130萬(wàn)元,則有哪幾種購(gòu)車方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面有4張形狀、大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉蟹謩e畫出符合要求的圖形,所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中小正方形的頂點(diǎn)重合,具體要求如下:
(1)畫一個(gè)直角邊長(zhǎng)為4,面積為6的直角三角形.
(2)畫一個(gè)底邊長(zhǎng)為4,面積為8的等腰三角形.
(3)畫一個(gè)面積為5的等腰直角三角形.
(4)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2,面積為6的等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠MON=30°,點(diǎn)A1,A2,A3,…在射線ON上,點(diǎn)B1,B2,B3,…在射線OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均為等邊三角形.若OA1=1,則△AnBnAn+1的邊長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N,ND⊥x軸,垂足為D,連接OM、ON、MN,則下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. △ONC≌△OAM
B. 四邊形DAMN與△OMN面積相等
C. ON=MN
D. 若∠MON=45°,MN=2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,+1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),在△ACM,△CBN中,AC=CM,BC=CN,∠ACM=∠BCN=60°,連接AN交CM于點(diǎn)E,連接BM交CN于點(diǎn)F.
求證:(1)AN=BM.(2)△CEF是等邊三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AB=,點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn),點(diǎn)H是線段AD上一點(diǎn),連接BH、CH.當(dāng)∠BHD=60°,∠AHC=90°時(shí),DH=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示,現(xiàn)將沿的方向平移,使得點(diǎn)移至圖中的點(diǎn)的位置.
(1)在直角坐標(biāo)系中,畫出平移后所得(其中、分別是、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)).
(2)(1)中所得的點(diǎn),的坐標(biāo)分別是________,________.
(3)直接寫出的面積為________.
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