Question

6．如圖所示，正三角形ABC的邊長為2，$\frac{AE}{BE}$=2，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，BD交CE于點(diǎn)F，則△AEF的外接圓半徑長為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{7}$

Answer 1

分析 由正三角形的性質(zhì)和已知條件得出BE=AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{2}{3}$，AB=BC=AC，∠EBC=∠BAD=60°，得出AE=$\frac{4}{3}$，由SAS證明△BCE≌△ABD，得出∠1=∠2，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DFC=∠EAD=60°，證出A、D、F、E四點(diǎn)共圓，作DH⊥AB于H，則∠ADH=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AH，求出DH、EH，由三角函數(shù)求出∠DEH=30°，得出∠ADE=90°，由圓周角定理得出∠AFE=∠ADE=90°，AE為△AEF的外接圓的直徑，即可得出結(jié)果．

解答 解：作DH⊥AB于H，如圖所示：
∵正三角形ABC的邊長為2，$\frac{AE}{BE}$=2，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{2}{3}$，AB=BC=AC，∠EBC=∠BAD=60°，
∴AE=$\frac{4}{3}$，
在△BCE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}&{\;}\\{∠EBC=∠BAD}&{\;}\\{BE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠DFC=∠3+∠2=∠3+∠1=60°，
∴∠DFC=∠EAD=60°，
∴A、D、F、E四點(diǎn)共圓，
作DH⊥AB于H，則∠ADH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{3}$，DH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EH=AE-AH=1，
∴sin∠DEH=$\frac{DH}{EH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DEH=30°，
∴∠ADE=90°，
∴∠AFE=∠ADE=90°，
∴AE為△AEF的外接圓的直徑，
∴△AEF的外接圓半徑長為$\frac{1}{2}$AE=$\frac{2}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外接圓、正三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．