Question

若關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根x₁、x₂，分別滿足條件：0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-2），有下列四個(gè)結(jié)論：①a+b＞2；②2a+b＜2；③a＜-1；④3a+b＞0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：由關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根x₁、x₂，分別滿足條件：0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，且拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-2），畫出二次函數(shù)y=ax²+bx+c的草圖，將（0，-2）代入y=ax²+bx+c，得出c=-2，那么y=ax²+bx-2．由x=1時(shí)，y＞0，可得a+b-2＞0，進(jìn)而判斷①正確；由x=2時(shí)，y＜0，可得4a+2b-2＜0，根據(jù)不等式的性質(zhì)得到2a+b＜1，進(jìn)而判斷②正確；由a+b＞2，兩邊同乘-1，得-a-b＜-2，又2a+b＜1，兩式相加得a＜-1，即可判斷③正確；由0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，根據(jù)不等式的性質(zhì)得到

x1+x2

2

＜

3

2

，而

x1+x2

2

=-

b

2a

，那么-

b

2a

＜

3

2

，又a＜0，兩邊同乘-2a，得到b＜-3a，進(jìn)而判斷④錯(cuò)誤．

解答：解：如圖，∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-2），
∴c=-2，
∴y=ax²+bx-2．
①∵x=1時(shí)，y＞0，
∴a+b-2＞0，
∴a+b＞2，故①正確；
②∵x=2時(shí)，y＜0，
∴4a+2b-2＜0，
∴2a+b＜1，
∵1＜2，
∴2a+b＜2，故②正確；
③∵a+b＞2，
∴-a-b＜-2，
∵2a+b＜1，
兩式相加得a＜-1，故③正確；
④∵0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴

x1+x2

2

＜

3

2

，
∵

x1+x2

2

=-

b

2a

，
∴-

b

2a

＜

3

2

，
∵a＜0，
∴b＜-3a，
∴3a+b＜0，故④錯(cuò)誤．
所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故答案為3個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，難度適中．根據(jù)條件畫出二次函數(shù)y=ax²+bx+c的草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．