Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（3，4），Q（4，3）分別在x軸、y軸上，求點(diǎn)M、N，使P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形的周長最�。�
（1）求M、N的坐標(biāo)；
（2）求四邊形的周長和面積．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）作點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q′，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′，連接Q′P′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得P′、Q′的坐標(biāo)，即可求得直線P′Q′的解析式，進(jìn)而即可求得M、N的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線PP′和直線QQ′的交點(diǎn)為B，求出線段P′Q′的長度，即可求得四邊形MNPQ的周長的最小值；根據(jù)S=S △P′Q′B-S △PP′Q-S △QQ′M-S_△PBQ即可求得四邊形的面積．

解答：解：（1）作點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q′，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′，
連接Q′P′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．
∵P（3，4），Q（4，3），
∴Q′（4，-3），P′（-3，4），
設(shè)直線P′Q′的解析式為y=kx+b，
∴

4k+b=-3 -3k+b=4

，
解得

k=-1 b=1

，
∴直線P′Q′的解析式為y=-x+1，
∴M（1，0），N（0，1）；

（2）NP=NP′，MQ=MQ′．
設(shè)直線PP′和直線QQ′的交點(diǎn)為B，
∴BP′=7，BQ′=7．
∴PN+NM+MQ=P′N+NM+MQ′=P′Q′=

72+72

=7

2

．
又∵PQ=

(4-3)2+(3-4)2

=

2

，
∴FN+MN+ME+EF=7

2

+

2

=8

2

，
此時(shí)四邊形MNFE的周長最小值是8

2

．
∵PB=1，BQ=1，
∴S=S △P′Q′B-S △PP′Q-S △QQ′M-S_△PBQ=

1

2

×7×7-

1

2

×6×3-

1

2

×6×3-

1

2

×1×1=6；

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據(jù)對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問題．