Question

【題目】(1)如圖:已知D為等腰直角△ABC斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(D與B、C均不重合),連結(jié)AD,△ADE是等腰直角三角形,DE為斜邊,連結(jié)CE,求∠ECD的度數(shù).

(2)當(dāng)(1)中△ABC、△ADE都改為等邊三角形,D點(diǎn)為△ABC中BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(D與B、C均不重合),當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△DCE的周長(zhǎng)最小?請(qǐng)?zhí)角簏c(diǎn)D的位置,試說明理由,并求出此時(shí)∠EDC的度數(shù).

(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使△DCE的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)M是此時(shí)射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以CM為邊,在直線CM的下方畫等邊三角形CMN,若△ABC的邊長(zhǎng)為4，請(qǐng)直接寫出DN長(zhǎng)度的最小值.

Answer 1

【答案】(1)∠ECD=90°； (2)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△DCE的周長(zhǎng)最小，理由見解析；∠EDC=30°；(3) DN長(zhǎng)度的最小值為1.

【解析】

（1）由等腰直角△ABC、△ADE易證△BAD≌CAE，即可得出∠ECA＝∠B＝45°，進(jìn)而求出∠ECD＝90°；

（2）證明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°推出CD＋EC＝CD＋BD＝BC，∠ECD＝60°＋60°＝120°，由△ECD的周長(zhǎng)＝DE＋CD＋CE＝DE＋BC，BC為定值，推出DE最小時(shí)，△DCE的周長(zhǎng)最小，根據(jù)AD⊥BC時(shí)DE最短即可解決問題；

（3）如圖3中，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，則△DCH是等邊三角形．作HK⊥AD于K．證明△HCM≌△DCN（SAS），推出DN＝HM，推出HM最小時(shí)，DN的值最小，當(dāng)HM與KH重合時(shí)，HM的值最小，依此求解．

解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B＝∠ACE＝45°，

∴∠ECD＝45°＋45°＝90°；

（2）如圖2，

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝60°，

∴△BAD≌CAE（SAS），

∴BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°

∴CD＋EC＝CD＋BD＝BC，∠ECD＝60°＋60°＝120°，

∵△ECD的周長(zhǎng)＝DE＋CD＋CE＝DE＋BC，

∵BC為定值，

∴DE最小時(shí)，△DCE得到周長(zhǎng)最小，

∵DE＝AD，

∴AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)BD＝CD＝CE，

∴∠EDC＝（180°120°）＝30°，

∴當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△DEC周長(zhǎng)最小，此時(shí)∠EDC＝30°；

（3）如圖3中，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，則△DCH是等邊三角形．作HK⊥AD于K．

∵CH＝CD，CM＝CN，∠DCH＝∠MCN，

∴∠HCM＝∠DCN，

∴△HCM≌△DCN（SAS），

∴DN＝HM，

∴HM最小時(shí)，DN的值最小，

當(dāng)HM與KH重合時(shí)，HM的值最小，KH＝AH＝1，

∴DN的長(zhǎng)度的最小值為1．