Question

6．如圖，△ABC中，AB=AC．
（1）尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．
（2）在（1）的條件下，若sinB=$\frac{3}{5}$，CD=13，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本尺規(guī)作圖作出符合條件的直線即可；
（2）過A作AF⊥BC于F，連接DA，設(shè)BE=x，根據(jù)正弦和余弦的定義用x表示出AF、AD、DF，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）如圖1所示：

（2）過A作AF⊥BC于F，連接DA，

∵DE是AB的垂直平分線，
∴DA=DB，
∵在Rt△BED中，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴cosB=$\frac{4}{5}$，
設(shè)BE=x，BD=$\frac{5}{4}$x，
則AE=BE=x，AD=BD=$\frac{5}{4}$x，
∵AB=2x，cosB=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{6}{5}$x，BF=$\frac{8}{5}$x，
∴DF=CD-CF=13-$\frac{8}{5}$x，
在△ADF中，AD²=DF²+AF²，
即（$\frac{5}{4}$x）²=（13-$\frac{8}{5}$x）²+（$\frac{6}{5}$x）²，
解得，x₁=10.4，x₂=6.67，
△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=4x+$\frac{5}{4}$x+13，
當(dāng)x=10.4時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)=67.6，
當(dāng)x=6.67時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)=48.02．
答：△ABC的周長(zhǎng)為48.02或67.6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是本題的關(guān)鍵．