Question

如圖，拋物線y₁=x²+bx-c經(jīng)過(guò)直線y₂=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求四邊形ADBC的面積；
（3）直接寫(xiě)出使y₁＜y₂的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）對(duì)于一次函數(shù)y=x-3，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，確定出A與B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式得到關(guān)于b與c的方程組，求出方程組的解得到b與c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）分別求得A、B、C、D的坐標(biāo)，利用S_{四邊形ACBD}=S_△OBC+S_梯形OBDE+S_△AED求面積即可．
（3）根據(jù)y₁＜y₂的可以得到拋物線位于直線的下方，從而可以寫(xiě)出自變量的取值范圍．

解答：解：（1）∵直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，
∴點(diǎn)B（0，-3），點(diǎn)A（3，0），
將A與B坐標(biāo)代入拋物線y=x²+bx-c得：

-c=-3 9+3b-c=0

，
解得：c=3，b=-2，
則拋物線的解析式是y=x²-2x-3；

（2）∵令y=x²-2x-3=0，解得：x=-1或x=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4），

作DE⊥AC于點(diǎn)E，
由題意得：OC=1，OB=3，DE=4，OE=1，AE=2，
∴S_{四邊形ACBD}=S_△OBC+S_梯形OBDE+S_△AED
=

1

2

OC•OB+

1

2

（OB+DE）•OE+

1

2

AE•ED
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4
=

3

2

+

7

2

+4
=9；

（3）∵y₁＜y₂，
∴拋物線位于直線的下方，
∴x的取值范圍為：0＜x＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠求得圖中的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，能夠?qū)Ⅻc(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)，從而求得四邊形的面積．