Question

如圖，若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，顯然圖（1）中有AG=CE，AG⊥CE．
（1）當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到圖（2）和圖（3）的位置時，AG、CE滿足什么樣關(guān)系，請寫出你的猜想，并對圖（3）給予證明．
（2）填空，在圖（3）中，當(dāng)AD=4，DG=

2

時，則點(diǎn)C到AG的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）延長CE交AD于0，交AG于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=CD，DG=DE，∠ADG=∠ADE=45°，則∠CDE=45°，于是可根據(jù)“SAS”判定△ADG≌△CDE，得到AG=CE，∠1=∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和和得到∠AHO=∠CDO=90°，則CH⊥AG，AG=CE，AG⊥CE；
（2）作GP⊥AD于P，如圖3，易得△PDG為等腰直角三角形，得到PD=PG=

2

2

DG=1，則AP=AD-PD=3，在Rt△AGP中利用勾股定理可計算出AG=

10

，接著證明Rt△AGP∽Rt△COD，利用相似比可計算出OC=

4 10

3

，OD=

4

3

，所以AO=AD-OD=

8

3

，然后證明Rt△AHO∽Rt△CDO，利用相似可計算出OH=

4 10

15

，再利用CH=CO+OH進(jìn)行計算即可．

解答：解：（1）AG=CE，AG⊥CE．
證明如下：如圖（3），
延長CE交AD于0，交AG于H，
∵四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，
∴AD=CD，DG=DE，
而點(diǎn)F在AD上，
∴∠ADG=∠ADE=45°，
∴∠CDE=45°，
在△AGD和△CED中，

AD=CD ∠ADG=∠CDE DG=DE

，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG=CE，∠1=∠2，
∵∠AOH=∠COD，
∴∠AHO=∠CDO=90°，
∴CH⊥AG，
即AG⊥CE；
（2）作GP⊥AD于P，如圖3，
在Rt△DGP中，∵∠GDP=45°，
∴△PDG為等腰直角三角形，
∴PD=PG=

2

2

DG=

2

2

×

2

=1，
∴AP=AD-PD=4-1=3，
在Rt△AGP中，AG=

PG2+AP2

=

10

，
∵∠1=∠2，
∴Rt△AGP∽Rt△COD，
∴

AG

CO

=

PG

OD

=

AP

CD

，即

10

OC

=

1

OD

=

3

4

，
∴OC=

4 10

3

，OD=

4

3

，
∴AO=AD-OD=4-

4

3

=

8

3

，
∵∠1=∠2，
∴Rt△AHO∽Rt△CDO，
∴

OH

OD

=

OA

OC

，即

OH

4 3

=

8 3

4 10 3

，
∴OH=

4 10

15

，
∴CH=CO+OH=

4 10

3

+

4 10

15

=

8 10

5

，
即點(diǎn)C到AG的距離為

8 10

5

．
故答案為

8 10

5

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．