【題目】這是一道我們?cè)?jīng)探究過(guò)的問(wèn)題:如圖1.等腰直角三角形中,,.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),過(guò)作于點(diǎn),過(guò)作于點(diǎn).易證得≌.(無(wú)需證明),我們將這個(gè)模型稱為“一線三等角”或者叫“K形圖”.接下來(lái),我們就利用這個(gè)模型來(lái)解決一些問(wèn)題:
(模型應(yīng)用)
(1)如圖2.已知直線l1:與與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B.以AB為直角邊作等腰直角三角形ABC,若存在,請(qǐng)求出C的坐標(biāo);不存在,若說(shuō)明理由.
(2)如圖3已知直線l1:與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B.將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2.直線l2在x軸上方的圖像上是否存在一點(diǎn)Q,使得△QAB是以QA為底的等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)求出直線BQ的函數(shù)關(guān)系式;若不存在,說(shuō)明理由.
(拓展延伸)
(3)直線AB:與軸負(fù)半軸、軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn).分別以OB、AB為邊,點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,連EF交y軸于P點(diǎn),如圖4,△EPB的面積是否確定?若確定,請(qǐng)求出具體的值;若不確定,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)存在,或或或;(2)存在,;(3)確定,面積是:1.
【解析】
(1)存在,如圖①、圖②,C1、C2、C3、C4都符合,根據(jù)“一線三等角”模型,易證得三角形全等,從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)存在,過(guò)作交直線l2于,△QAB就是以QA為底邊的等腰直角三角形,根據(jù)“一線三等角”模型,易證得, 從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo),繼而求得直線BQ的函數(shù)關(guān)系式;
(3)確定,面積是:1.過(guò)作軸于,根據(jù)“一線三等角”模型,易證得,可求得E、F的坐標(biāo),從而求得直線EF的解析式,繼而求得P點(diǎn)坐標(biāo),可以求得△EPB的面積.
(1)∵直線l1:與與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,
∴A、B的坐標(biāo)分別是A(3,0)、B(0,4),則,
如圖①:過(guò)作軸于,作軸于,
根據(jù)“一線三等角”模型,易證得
∴
∴的坐標(biāo)是
如圖②:過(guò)作軸于,作軸于,
根據(jù)“一線三等角”模型,易證得,
∴
∴的坐標(biāo)是
(2)存在,
如圖,過(guò)作交直線l2于,
由于是旋轉(zhuǎn)角,
∴,
則△QAB就是以QA為底邊的等腰直角三角形,
∵直線l1:與與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,
∴A、B的坐標(biāo)分別是A(-4,0)、B(0,3),
則,
過(guò)作軸于,
根據(jù)“一線三等角”模型,易證得
∴
∴的坐標(biāo)是
設(shè)直線BQ的解析式是:
把B(0,3),代入得,
解得:
∴直線BQ的解析式是:
(3)確定,面積是:1.
∵直線AB:與軸負(fù)半軸、軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),
∴A、B的坐標(biāo)分別是A(-2,0)、B(0,1),
則,
如圖,過(guò)作軸于,
根據(jù)“一線三等角”模型,易證得
∴,
∴的坐標(biāo)是
∵是等腰直角三角形,∴
∴的坐標(biāo)是
設(shè)直線EF的解析式是:
把,代入得,
解得:
∴直線EF的解析式是:
∴直線EF與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,是上一點(diǎn),于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的切線,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接.
求證:與相切;
設(shè)交于點(diǎn),若,,求由劣弧、線段和所圍成的圖形面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=6,點(diǎn)D在邊AC上,AD的中垂線交BC于點(diǎn)E.若∠AED=∠B,CE=3BE,則CD等于( 。
A. B. 2C. D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】許昌芙蓉湖位于許昌市水系建設(shè)總體規(guī)劃中部,上游接納清泥河來(lái)水,下游為鹿鳴湖等水系供水,承擔(dān)著承上啟下的重要作用,是利用有限的水資源、形成良好的水生態(tài)環(huán)境打造生態(tài)宜居城市的重要部分.某校課外興趣小組想測(cè)量位于芙蓉湖兩端的A,B兩點(diǎn)之間的距離他沿著與直線AB平行的道路EF行走,走到點(diǎn)C處,測(cè)得∠ACF=45°,再向前走300米到點(diǎn)D處,測(cè)得∠BDF=60°.若直線AB與EF之間的距離為200米,求A,B兩點(diǎn)之間的距離(結(jié)果保留一位小數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線分別交軸、軸于、兩點(diǎn),且,滿足,且,是常數(shù)。直線平分,交軸于點(diǎn)。
(1)若的中點(diǎn)為,連接交于,求證:;
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,猜想與間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖3,在軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(在點(diǎn)的右側(cè)),連接,并作等腰,其中,連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí),的長(zhǎng)是否發(fā)生改變?若改變,請(qǐng)求出它的變化范圍;若不變,求出它的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明在他家里的時(shí)鐘上安裝了一個(gè)電腦軟件,他設(shè)定當(dāng)鐘聲在n點(diǎn)鐘響起后,下一次則在(3n﹣1)小時(shí)后響起,例如鐘聲第一次在3點(diǎn)鐘響起,那么第2次在(3×3﹣1=8)小時(shí)后,也就是11點(diǎn)響起,第3次在(3×11﹣1=32)小時(shí)后,即7點(diǎn)響起,以此類推…;現(xiàn)在第1次鐘聲響起時(shí)為2點(diǎn)鐘,那么第3次響起時(shí)為_____點(diǎn),第2017次響起時(shí)為_____點(diǎn)(如圖鐘表,時(shí)間為12小時(shí)制).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,O是BC上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OB長(zhǎng)為半徑作圓,恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,并與BC交于點(diǎn)D.
(1)判斷直線CA與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若AB=4,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形,那么我們稱該三角形為等腰三角形過(guò)該頂點(diǎn)的生成三角形.
(1)如圖,在等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,請(qǐng)問(wèn)△ABC是否是生成三角形?請(qǐng)你說(shuō)明理由.
(2)若△ABC是等腰三角形過(guò)頂點(diǎn)B的生成三角形,∠C是其最小的內(nèi)角,請(qǐng)?zhí)角蟆?/span>ABC與∠C之間的關(guān)系.
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