【題目】某河道上有一個(gè)半圓形的拱橋,河兩岸筑有攔水堤壩.其半圓形橋洞的橫截面如圖所示.已知上、下橋的坡面線、與半圓相切,上、下橋斜面的坡度,橋下水深米.水面寬度米.設(shè)半圓的圓心為,直徑在坡角頂點(diǎn)、的連線上.求從點(diǎn)上坡、過(guò)橋、下坡到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng).(參考數(shù)據(jù):,

【答案】點(diǎn)上坡、過(guò)橋、下坡到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為米.

【解析】

首先明確從M點(diǎn)上坡、過(guò)橋、下坡到N點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)應(yīng)為如圖ME++FN,連接如圖,把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題,由已知求出OD即半徑,再由坡度i=1:3.7tan15°==1:3.7,得出∠M=N=15°,因此能求出MEFN,所以求出∠EOM=FON=90°-15°=75°,則得出所對(duì)的圓心角∠EOF,相繼求出的長(zhǎng),從而求出從M點(diǎn)上坡、過(guò)橋、下坡到N點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng).

連接FO、EO、DO,
已知CD=24m,0P=5m,PD=12m,
OD2=OP2+PD2=52+122=169,
OD=13m,則OE=OF=13m,
已知坡度i=1:3.7tan15°==1:3.7,
∴∠M=N=15°,
cot15°==2+,
∵上、下橋的坡面線ME、NF與半圓相切,
tanM=OE:EM,
ME=FN==13×(2+),=26+13(m),
EOM=FON=90°-15°=75°,
∴∠EOF=180°-75°-75°=30°,
π(m)

ME++FN=26+13+π+26+13≈102.7(m)

答:從點(diǎn)上坡、過(guò)橋、下坡到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為米.

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A.B.C.D.

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