Question

【題目】定義：對(duì)于已知的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量的一個(gè)值，當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等；當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例如：正比例函數(shù)，它的相關(guān)函數(shù)為.

（1）已知點(diǎn)在一次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像上，求的值；

（2）已知二次函數(shù).

①當(dāng)點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像上時(shí)，求的值；

②當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值.

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，連結(jié).直接寫出線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①、 ；②，；（3），

【解析】

（1）先求出的相關(guān)函數(shù)，然后代入求解，即可得到答案；

（2）先求出二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)，①分為m＜0和m≥0兩種情況將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)的關(guān)系式求解即可；

②當(dāng)-3≤x＜0時(shí)，y=x2-4x+，然后可 此時(shí)的最大值和最小值，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)y=-x2+4x-，求得此時(shí)的最大值和最小值，從而可得到當(dāng)-3≤x≤3時(shí)的最大值和最小值；

（3）首先確定出二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)與線段MN恰好有1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn)、3個(gè)交點(diǎn)時(shí)n的值，然后結(jié)合函數(shù)圖象可確定出n的取值范圍．

解：（1）根據(jù)題意，

一次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，

∴把點(diǎn)代入，則

，

∴；

（2）根據(jù)題意，二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，

①當(dāng)m＜0時(shí)，將B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+，

解得：m=2+（舍去）或m=．
當(dāng)m≥0時(shí)，將B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，

解得：m=2+或m=2．
綜上所述：m=或m=或m=．
②當(dāng)-3≤x＜0時(shí)，y=x2-4x+，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，此時(shí)y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即，

∴此時(shí)y的最大值為．
當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)y=-x2+4x，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，

當(dāng)x=0有最小值，最小值為，

當(dāng)x=2時(shí)，有最大值，最大值y=．
綜上所述，當(dāng)-3≤x≤3時(shí)，函數(shù)y=-x2+4x的相關(guān)函數(shù)的最大值為，最小值為；

（3）如圖1所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有1個(gè)公共點(diǎn)．

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如圖2所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)．

∵拋物線y=x2-4x-n與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴當(dāng)-3＜n≤-1時(shí)，線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)．
如圖3所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)．

∵拋物線y=-x2+4x+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），
∴n=1．
如圖4所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)．

∵拋物線y=x2-4x-n經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，1），
∴+2-n=1，解得：n=．
∴1＜n≤時(shí)，線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，n的取值范圍是-3＜n≤-1或1＜n≤．