Question

8．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，且CD⊥AB于點E，OF⊥AC于點F，連接BD．若∠D=30°，BC=1，則圖中陰影部分的面積是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$π
• B． $\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$π-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． π-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由AB為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，可求得∠A=30°，求得OF與AC的長，繼而求得∠AOC的度數(shù)，然后由S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC，即可求得陰影部分的面積．

解答 解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠D=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，
∴⊙O的半徑為1．
連接OC，
∵OF⊥AC，∠A=30°，OA=1，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=2AF=$\sqrt{3}$，
∵∠BOC=2∠A=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°，
∴S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC=$\frac{120×π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$π-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故選B．

點評 此題考查了圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．