Question

5．如圖是由7個(gè)形狀、大小完全相同的正六邊形組成的圖形，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知每個(gè)正六邊形的邊長為2，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC的面積是32$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建三角形和高線，利用面積差求△ABC的面積；根據(jù)正六邊形的邊長為2，每個(gè)內(nèi)角都為120°及正六邊形的性質(zhì)求出△AEC和△BEC的底邊和高線，利用面積公式得出結(jié)論．

解答 解：延長AB，交格點(diǎn)于E，連接EC，分別過A、B作EC的垂線段AF、BD，垂足分別為F、D，
∵每個(gè)正六邊形的邊長為2，
∴CE=2×4=8，AE=5×2=10，
∵∠AEC=60°，
∴sin60°=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{AF}{AE}$，
∴$\frac{BD}{6}=\frac{AF}{10}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BD=3$\sqrt{3}$，AF=5$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=S_△AEC-S_△BEC，
=$\frac{1}{2}$EC•AF-$\frac{1}{2}$EC•BD，
=$\frac{1}{2}$EC（AF-BD），
=$\frac{1}{2}$×8×（5$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$），
=8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了正六邊形，做好本題的關(guān)鍵是熟練掌握正六邊形的有關(guān)概念：①正六邊形的半徑與邊組成等邊三角形．②中心角：正六邊形每一邊所對的圓心角叫做正六邊形的中心角，它的中心角=360°÷6=60°．③邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正六邊形的邊心距．