Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，點(diǎn)D在邊AC上且BD平分∠ABC，設(shè)CD=x．
（1）求證：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°-cos72°的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),黃金分割,解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：（1）由等腰三角形ABC中，利用頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出∠DBC的度數(shù)，得到∠DBC=∠A，再由∠C為公共角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形BCD相似；
（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BC，根據(jù)AD+DC表示出AC，由（1）兩三角形相似得比例求出x的值即可；
（3）過B作BE垂直于AC，交AC于點(diǎn)E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36°與cos72°的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=BC=1，
設(shè)CD=x，則有AB=AC=x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴

AB

BD

=

BC

CD

，即

x+1

1

=

1

x

，
整理得：x²+x-1=0，
解得：x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

（負(fù)值，舍去），
則x=

-1+ 5

2

；
（3）過B作BE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，
∵BD=BC，
∴E為CD中點(diǎn)，即DE=CE=

-1+ 5

4

，
在Rt△ABE中，cosA=cos36°=

AE

AB

=

1+ -1+ 5 4

-1+ 5 2 +1

=

5 +1

4

，
在Rt△BCE中，cosC=cos72°=

EC

BC

=

-1+ 5 4

1

=

-1+ 5

4

，
則cos36°-cos72°=

5 +1

4

-

-1+ 5

4

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及一元二次方程的解法，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．