【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3,且與x軸相交于A,B兩點(B點在A點右側(cè))與y軸交于C點.
(1)求拋物線的解析式和A、B兩點的坐標(biāo);
(2)若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點(不與B、C重合),則是否存在一點P,使△PBC的面積最大.若存在,請求出△PBC的最大面積;若不存在,試說明理由;
(3)若M是拋物線上任意一點,過點M作y軸的平行線,交直線BC于點N,當(dāng)MN=3時,求M點的坐標(biāo).
【答案】(1).點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為;(2)存在點,使的面積最大,最大面積是.(3)點的坐標(biāo)為、、或.
【解析】
(1)由拋物線的對稱軸為直線x=3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a值,進而可得出拋物線的解析式,再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,即可求出點A、B的坐標(biāo);
(2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點C的坐標(biāo),由點B、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式,假設(shè)存在,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,-x2+x+4),過點P作PD∥y軸,交直線BC于點D,則點D的坐標(biāo)為(x,-x+4),PD=-x2+2x,利用三角形的面積公式即可得出S△PBC關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;
(3)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,-m2+m+4),則點N的坐標(biāo)為(m,-m+4),進而可得出MN=|-m2+2m|,結(jié)合MN=3即可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論.
(1)拋物線的對稱軸是直線,
∴,解得:,
∴拋物線的解析式為.
當(dāng)時,,
解得:,,
∴點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為.
(2)當(dāng)時,,
∴點的坐標(biāo)為.
設(shè)直線的解析式為.
將、代入,
,解得:,
∴直線的解析式為.
假設(shè)存在,設(shè)點的坐標(biāo)為,過點作軸,交直線于點,則點的坐標(biāo)為,如圖所示.
∴,
∴.
∵,
∴當(dāng)時,的面積最大,最大面積是.
∵,
∴存在點,使的面積最大,最大面積是.
(3)設(shè)點的坐標(biāo)為,則點的坐標(biāo)為,
∴.
又∵,
∴.
當(dāng)時,有,
解得:,,
∴點的坐標(biāo)為或;
當(dāng)或時,有,
解得:,,
∴點的坐標(biāo)為或.
綜上所述:點的坐標(biāo)為、、或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(3,-2)在反比例函數(shù)的圖像上,則下列各點中,也在反比例函數(shù)圖像上的是( )
A. (3,-3) B. (-2,3) C. (1,6) D. (-2,-3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點C的直線交AB的延長線于點D,AE⊥DC,垂足為E,F是AE與⊙O的交點,AC平分∠BAE,連接OC.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若⊙O半徑為4,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果用含π和根號的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度,Rt△ABC的三個頂點A(-2,2),B(0,5),C(0,2).
(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,得到△A1B1C,請畫出△A1B1C的圖形.
(2)平移△ABC,使點A的對應(yīng)點A2坐標(biāo)為(-2,-6),請畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2的圖形.
(3)若將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,已知△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A(﹣4,1),B(﹣3,3),C(﹣1,2).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,點A,B,C的對稱點分別是點A1、B1、C1,直接寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo):A1( ),B1( ),C1( );
(2)畫出△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2,連接C1C2,CC2,C1C,并直接寫出△CC1C2的面積是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】八年級(1)班研究性學(xué)習(xí)小組為研究全校同學(xué)課外閱讀情況,在全校隨機邀請了部分同學(xué)參與問卷調(diào)查,統(tǒng)計同學(xué)們一個月閱讀課外書的數(shù)量,并繪制了以下統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖中信息解決下列問題:
(1)共有 名同學(xué)參與問卷調(diào)查;
(2)補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖;
(3)全校共有學(xué)生1500人,請估計該校學(xué)生一個月閱讀2本課外書的人數(shù)約為多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】光華農(nóng)機租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機,其中甲型20臺,乙型30臺,先將這50臺聯(lián)合收割機派往A、B兩地區(qū)收割小麥,其中30臺派往A地區(qū),20臺派往B地區(qū).兩地區(qū)與該農(nóng)機租賃公司商定的每天的租賃價格見表:
每臺甲型收割機的租金 | 每臺乙型收割機的租金 | |
A地區(qū) | 1800 | 1600 |
B地區(qū) | 1600 | 1200 |
(1)設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機,租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y(元),求y與x間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(2)若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79 600元,說明有多少種分配方案,并將各種方案設(shè)計出來;
(3)如果要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高,請你為光華農(nóng)機租賃公司提一條合理化建議.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為增加學(xué)生的閱讀興趣,學(xué)校新購進一批圖書.為了解學(xué)生對圖書類別的喜歡情況,學(xué)校隨機抽取部分學(xué)生進行了問卷調(diào)查,規(guī)定被調(diào)查學(xué)生從“文學(xué)、歷史、科學(xué)、生活”中只選擇自己最喜歡的一類,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了下面不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖表信息,解答下列問題:
(1)此次共調(diào)查了多少人;
(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校共有學(xué)生人,請估計這所學(xué)校喜歡科學(xué)類圖書的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點,AE=ED,DF=DC,連接EF并延長交BC的延長線于點G.
(1)求證:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的邊長為4,求BG的長.
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