Question

已知：如圖，二次函數(shù)y=2x²-2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，直線x=m（m＞1）與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在直線x=m（m＞1）上有一點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，試問(wèn)：拋物線y=2x²-2上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點(diǎn)Q，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令二次函數(shù)解析式中x=0，可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，可得出A、B的坐標(biāo)．
（2）由于∠PDB=∠BOC=90°，因此本題可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)△PDB∽△COB時(shí)；②當(dāng)△PDB∽△BOC時(shí)；可根據(jù)不同的相似三角形得出的不同的對(duì)應(yīng)線段成比例來(lái)求出DP的長(zhǎng)，即可表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）若四邊形ABPQ為平行四邊形，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)可有P點(diǎn)坐標(biāo)向左平移AB個(gè)單位來(lái)得出，然后將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得m的值．

解答：解：（1）令y=0得2x²-2=0
解得x=±1，
點(diǎn)A為（-1，0），點(diǎn)B為（1，0），
令x=0，得y=-2，
所以點(diǎn)C為（0，-2）．

（2）當(dāng)△PDB∽△COB時(shí)，有

PD

OC

=

BD

OB

，
∵BD=m-1，OC=2，OB=1，
∴

PD

2

=

m-1

1

，
∴PD=2（m-1），
∴P₁（m，2m-2）．
當(dāng)△PDB∽△BOC時(shí)，

PD

OB

=

BD

OC

，
∵OB=1，BD=m-1，OC=2，
∴

PD

1

=

m-1

2

，
PD=

m-1

2

，
∴P₂（m，

m

2

-

1

2

）．

（3）假設(shè)拋物線y=2x²-2上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴PQ=AB=2，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m-2．
當(dāng)點(diǎn)P₁為（m，2m-2）時(shí)，
點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)是（m-2，2m-2）（9分）
∵點(diǎn)Q₁在拋物線y=2x²-2圖象上，
∴2m-2=2（m-2）²-2，m-1=m²-4m+4-1，
m²-5m+4=0，m₁=1（舍去），m₂=4．
當(dāng)點(diǎn)P₂為（m，

m

2

-

1

2

）時(shí)，
點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)是（m-2，

m

2

-

1

2

），
∵Q₂在拋物線y=2x²-2圖象上，
∴

m

2

-

1

2

=2（m-2）²-2，
去分母，得
m-1=4（m-2）²-4m-1，
移項(xiàng)，得
4m²-16m+16-44m²-17m+13=0，
整理，得
（m-1）（4m-13）=0，
∴m₃=1（舍去），m₄=

13

4

，
∴m的值為4、

13

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．