Question

12．如圖1，AB⊥BC，AB=2，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P在射線BC上運(yùn)動(dòng)，以AP為邊向右上方作等邊△APQ，射線QE交射線BC于點(diǎn)F．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與A、E成一直線時(shí)，則PQ=4，∠QFC=60°；
（2）在圖1中，①求證：△ABP≌△AEQ；
②隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，∠QFC的度數(shù)是不是定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，下列情況描述正確的有①③（填序號(hào)）
①點(diǎn)Q的位置隨之改變；                   ②點(diǎn)F的位置隨之改變；
③AE與EQ的位置關(guān)系不變；               ④∠QFP=60°或120°．

Answer 1

分析 （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與A、E成一直線時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PQ=AP，∠BAP=∠ABE=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠APB=∠EBP=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AP=2AB=4，BE=PE，證得QF⊥AP，即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出AB=AE，AP=AQ，由等式的性質(zhì)就可以得出∠BAP=∠EAQ，就可以得出結(jié)論；
②根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，證明∠BAP=∠EAQ，進(jìn)而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；
（3）由△ABP≌△AEQ就可以得出∠ABP=∠AEQ=90°，進(jìn)而可以得出∠FBE=FEB=30°，就可以得出EF=BF；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根據(jù)SAS證△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；由（2）知∠QFP=60°．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與A、E成一直線時(shí)，
∵△ABE與△APQ是等邊三角形，
∴PQ=AP，∠BAP=∠ABE=60°，
∵∠ABP=90°，
∴∠APB=∠EBP=30°，
∴AP=2AB=4，BE=PE，
∴PQ=AP=4；PE=AE，
∴QF⊥AP，
∴∠QFC=60°，
故答案為：4，60°；

（2）①∵△ABE和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=∠ABE=∠AEB=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AEQ，（SAS）；
②∠QFC=60°，
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP和△AEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AEQ （SAS）　
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°；

（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，①點(diǎn)Q的位置隨之改變；故①正確；
∵△QAE≌△PAB，
∴∠ABP=∠AEQ=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠ABP=∠AEF，
∴∠ABP-∠AEB=∠AEF-∠ABE，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)F的位置不會(huì)改變；故②錯(cuò)誤；
∵△ABE和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ，
在△BAP和△EAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△EAQ（SAS），
∴∠AEQ=∠ABC=90°，
∴AE與EQ的位置關(guān)系不變；故③正確；
由（2）知∠QFP=60°，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．