Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，已知拋物線的對稱軸所在的直線是，點B的坐標為

拋物線的解析式是______；

若點P是直線BC下方拋物線上一動點，當時，求出點P的坐標；

若M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在點N，使得點B，C，M，N構成的四邊形是菱形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點坐標為；（3）在拋物線上不存在點N，使得點B，C，M，N構成的四邊形是菱形，見解析.

【解析】

（1）利用拋物線對稱性得到點A（ ，0），然后利用交點式寫出拋物線解析式；

（2）如圖，∠ABP＝2∠ABC，直線BP交y軸于E，作C點關于x軸的對稱軸點D，DH⊥BE于H，則∠ABC＝∠ABD，∠ABD＝∠PBD，則OD＝DH＝2，設DE＝t，利用相似比表示出EH＝1+t，根據(jù)勾股定理得到22+（1+t）2＝t2，解得t1＝﹣2，t2＝ ，從而得到E（0， ），利用待定系數(shù)法得直線BE的解析式為y＝x﹣，然后解方程組 得P點坐標；

（3）若BC為對角線，易得點B，C，M，N構成的四邊形不是菱形；若BC為邊，則CN∥BM，則CN＝ ，而BC＝2，利用BC≠CN可判斷點B，C，M，N構成的四邊形不可能為菱形．

解：點A與點關于直線是，

點，

拋物線解析式為，

即；

故答案為；

如圖，，

直線BP交y軸于E，作C點關于x軸的對稱軸點D，于H，

則，

，

，

當時，，則，

，

設，

，

∽，

，即，則，

在中，，解得，，

，

，

設直線BE的解析式為，

把，代入得，

直線BE的解析式為，

解方程組得或，

點坐標為；

在拋物線上不存在點N，使得點B，C，M，N構成的四邊形是菱形．

理由如下：

若BC為對角線，易得點B，C，M，N構成的四邊形不是菱形；

若BC為邊，則，則，而，所以點B，C，M，N構成的四邊形不可能為菱形．