Question

【題目】如圖，已知拋物線與坐標軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，4），連接BC，AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點E是拋物線在第二象限上的一點，過點E作DE⊥AC于點D，求DE的最大值．

（3）若點E是拋物線上第二象限上的一動點，過點E作DE⊥AC于點D，連接CE，若△CDE與△COB相似，直接寫出點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+4；（2）；（3）或．

【解析】

（1）拋物線的解析式為：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8）即可求解；

（2）∠EHD＝∠ACB＝45°，DE＝EH＝（﹣x2﹣x+4﹣x﹣4）＝﹣x2﹣x，即可求解；

（3）分∠BCO＝∠ECD、∠CBO＝∠ECD兩種情況，分別求解即可．

（1）拋物線的解析式為：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8），

故﹣8a＝4，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣x+4；

（2）過點E作y軸的平行線交AC于點H，

由點A、C的坐標得：直線AC的表達式為：y＝x+4，

設(shè)：點E（x，﹣x2﹣x+4），則點H（x，x+4），

∠EHD＝∠ACO＝45°，

DE＝EH＝（﹣x2﹣x+4﹣x﹣4）＝﹣x2﹣x，

∵-＜0，故DE有最大值為：；

（3）①當∠BCO＝∠ECD時，

延長AE交x軸于點F，過點F作FG⊥AC角CA的延長線于點G，

則∠AFG＝∠FAG＝45°，設(shè)：FG＝AG＝x，AC＝4，

tan∠ECD＝＝，解得：x＝4，

則AF＝x＝8，故點F（﹣12，0），

則直線CF的表達式為：y＝x+4…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝或0（舍去0），

故點E（，）；

②當∠CBO＝∠ECD時，

延長EC交x軸于點F，過點F作FG⊥BC角CB的延長線于點G，

∠ECF＝β+45°+α+∠BCF＝180°，故∠BCF＝45°，

同理可得：點E的坐標為：（，）；

綜上，點E的坐標為：（，）或（，）．