Question

【題目】如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3交坐標(biāo)軸與B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)A（﹣1，0）．點(diǎn)D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DQ∥CO，DQ交BC于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q．

（1）求拋物線解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，在點(diǎn)D的移動過程中，存在∠DCP＝∠ACO，求出m值；

（3）在拋物線取點(diǎn)E，在坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)F，問是否存在以C、B、E、F為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形？如果有請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）m＝；（3）存在，當(dāng)點(diǎn)E（1，4）或（﹣2，﹣5）時，以C、B、E、F為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)與坐標(biāo)軸相交，求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；
（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，點(diǎn)，點(diǎn)，利用參數(shù)求出DH，CH的長，由銳角三角函數(shù)可求解；
（3）分兩種情況討論，求出直線CE的方程或BE的方程，聯(lián)立方程組可求解．

（1）∵直線y＝﹣x+3交坐標(biāo)軸與B、C兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），

∵拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)A（﹣1，0），

∴

解得：

∴拋物線解析式為：；

（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)A（﹣1，0），

∴CO＝3＝BO，AO＝1，

∴∠BCO＝∠CBO＝45°，BC＝3，

∵DQ⊥OB，

∴∠BPQ＝∠PBQ＝45°，

∴PQ＝QB，BP＝PQ，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)，點(diǎn)，

∴PQ＝﹣m+3，，

∴，BP＝（﹣m+3）

∵∠DPH＝∠BPQ＝45°，DH⊥BC，

∴∠HDP＝∠DPH＝45°，

∴DH＝PH＝，

∴CH＝3﹣（﹣m+3）﹣＝，

∵∠DCP＝∠ACO，

∴tan∠DCP＝tan∠ACO＝，

∴＝

∴m＝0（舍去），m＝；

（3）存在，

若CE⊥BC時，

直線CE解析式為：y＝x+3，

∴

∴（舍去），

∴點(diǎn)E坐標(biāo)，

若BE⊥BC時，

直線BE解析式為：y＝x﹣3，

∴

∴（舍去），

∴點(diǎn)E坐標(biāo)，

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)或時，以C、B、E、F為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形．