Question

19．如圖，已知AD∥BC，P為CD上一點，且AP，BP分別平分∠BAD和∠ABC．
（1）判斷△APB是什么三角形，證明你的結(jié)論；
（2）比較DP與PC的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過平行線性質(zhì)及角平分線性質(zhì)，可以得到∠APB=90°；
（2）利用中點延長AP與BC交于點E，構(gòu)造出一對全等三角形△ADP與△ECP，即可以證出DP=PC．

解答 解：（1）△APB是直角三角形
∵AP，BP分別平分∠BAD和∠ABC，
∴∠DAP=∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠BAP+∠ABP=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ABC）=90°，
∴∠APB=90°，
∴△APB是直角三角形；
（2）DP=PC
延長AP交BC的延長線于點E，如圖：
．
∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠E，
∵∠DAP=∠BAP，
∴∠BAP=∠E，
∴AB=EB，
∵∠APB=90°，
∴AP=PE，
在△ADP與△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠E}\\{AP=EP}\\{∠APD=∠EPC}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ECP，
∴DP=CP．

點評 本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是利用中點作延長線構(gòu)建全等三角形．