Question

4．【問題情境】
如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）直接寫出AM、AD、MC三條線段的數(shù)量關(guān)系：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
【拓展延伸】
（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明．

Answer 1

分析 （1）從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā)，延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可．
（2）作FA⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)F，易證AM=FM，只需證明FB=DE即可；要證FB=DE，只需證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可．
（3）在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；在圖2（2）中，采用反證法，并仿照（2）中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立．

解答 證明：延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．
（2）AM=DE+BM成立．
證明：過點(diǎn)A作AF⊥AE，交CB的延長線于點(diǎn)F，如圖1（2）所示．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAN}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠D}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立．
證明：延長AE、BC交于點(diǎn)P，如圖2（1），

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CPE}\\{∠AED=∠PEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC．
②結(jié)論AM=DE+BM不成立．
證明：假設(shè)AM=DE+BM成立．
過點(diǎn)A作AQ⊥AE，交CB的延長線于點(diǎn)Q，如圖2（2）所示．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°-∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°-∠QAB
=90°-∠DAE
=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM．
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
在△ABQ和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAB=∠EAD}\\{∠ABQ=∠D}\\{BQ=DE}\end{array}\right.$
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB=AD．
與條件“AB≠AD“矛盾，故假設(shè)不成立．
∴AM=DE+BM不成立．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形及矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，考查了基本模型的構(gòu)造（平行加中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形），考查了反證法的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)．添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決這道題的關(guān)鍵．