Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
（1）想想看，你能得到什么結(jié)論？
（2）若過點(diǎn)O作一直線EF和邊BC平行，與AB交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F．則圖（2）中有幾個(gè)等腰三角形？線段EF和EB、FC之間有怎樣的關(guān)系？
（3）若∠ABC≠∠ACB，其他條件不變，圖（3）中是否還有等腰三角形？（2）中第二問的關(guān)系是否還存在？寫出你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）由條件可得到∠OBC=∠OCB，可得到OB=OC；
（2）由平行和角平分線可得到∠EBO=∠EOB，可得到OE=BE，同理OF=CF，則AE=AF，結(jié)合（1）OB=OC，所以共有5個(gè)等腰三角形，可得到EF=BE+FC；
（3）同（2）可得EO=EB，F(xiàn)O=FC，所以存在等腰三角形，關(guān)系仍然存在．

解答：解：（1）可得結(jié)論OB=OC，△OBC為等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴△OBC為等腰三角形；
（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EO=EB，
∴△EOB為等腰三角形，
同理可得FO=FC，
∴△FOC為等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC為等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE，
∴AE=AF，
∴△AEF為等腰三角形，
由（1）可知OB=OC，
∴△OBC為等腰三角形，
綜上可知有五個(gè)等腰三角形，
∵EO=BE，OF=CF，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）有等腰三角形，關(guān)系式仍然存在，
同（2）可知BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO為等腰三角形，
EF=BE+CF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，注意利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到角相等是解題的關(guān)鍵．