【題目】已知,AD是△ABC的中線,將BC邊所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角,交邊AB于點(diǎn)M,交射線AC于點(diǎn)N,設(shè)AM=xAB,AN=yAC(x,y≠0).
(1)如圖1,當(dāng)△為等邊三角形且°時(shí),證明:△AMN∽△DMA;
(2)如圖2,證明: ;
(3)如圖3,當(dāng)G是AD上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)G不與A重合),過點(diǎn)G的直線交邊AB于點(diǎn) ,交射線AC于點(diǎn),設(shè)AG=nAD, ,猜想: 是否成立?并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)猜想成立,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)利用“兩角法”證得兩個(gè)三角形相似;
(2)如圖1,過點(diǎn)C作CF∥AB交MN于點(diǎn)F,構(gòu)建相似三角形:△CFN∽△AMN,利用該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得.通過證△CFD≌△BMD得到BM=CF,利用比例的性質(zhì)和相關(guān)線段的代入得到,即;
(3)猜想: += 成立.需要分類討論:①如圖乙,過D作MN∥M'N'交AB于M,交AC的延長(zhǎng)線于N.由平行線截線段成比例得到,易求,利用(2)的結(jié)果可以求得;
②如圖丙,當(dāng)過點(diǎn)D作M1N1∥M'N'交AB的延長(zhǎng)線于M1,交AC1于N1,則同理可得.
試題解析:解:(1)證明:如圖1.在△AMD中,∵AD是△ABC的中線,△ABC為等邊三角形,∴AD⊥BC,∠MAD=30°.又∵α=∠BDM=30°,∴∠MDA=60°,∴∠AMD=90°.在△AMN中,∠AMN=90°,∠MAN=60°,∴∠AMN=∠DMA=90°,∠MAN=∠MDA,∴△AMN∽△DMA;
(2)證明:如圖甲,過點(diǎn)C作CF∥AB交MN于點(diǎn)F,則△CFN∽△AMN,∴.
∵CF∥BM,∴∠B=∠DCF.在△CFD和△BMD中, ,∴△CFD≌△BMD,∴BM=CF,∴,∴,即;
(3)猜想: += 成立.理由如下:
①如圖乙,過D作MN∥M'N'交AB于M,交AC的延長(zhǎng)線于N,則,∴,即,由(2)知,∴;
②如圖丙,當(dāng)過點(diǎn)D作M1N1∥M'N'交AB的延長(zhǎng)線于M1,交AC1于N1,則同理可得.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域,我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13nmile的A,B兩個(gè)基地前去攔截,六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120nmile,乙巡邏艇每小時(shí)航行50nmile,航向?yàn)楸逼?/span>40°,求甲巡邏艇的航向.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校計(jì)劃購(gòu)買一批籃球和足球,已知購(gòu)買2個(gè)籃球和1個(gè)足球共需320元,購(gòu)買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共需540元.
(1)求每個(gè)籃球和每個(gè)足球的售價(jià);
(2)如果學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種球共50個(gè),總費(fèi)用不超過5500元,那么最多可購(gòu)買多少個(gè)足球?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一只甲蟲在5×5的方格(每小格邊長(zhǎng)為1)上沿著網(wǎng)格線運(yùn)動(dòng).它從A處出發(fā)去看望B、C、D處的其它甲蟲,規(guī)定:向上向右走為正,向下向左走為負(fù).如果從A到B記為:A→B(+1,+4),從B到A記為:B→A(-1,-4),其中第一個(gè)數(shù)表示左右方向,第二個(gè)數(shù)表示上下方向.
(1)圖中A→C( , ),B→C( , ),C→ (+1, );
(2)若這只甲蟲從A處去甲蟲P處的行走路線依次為(+2,+2),(+2,-1),(-2,+3),(-1,-2),請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出P的位置;
(3)若這只甲蟲的行走路線為A→B→C→D,請(qǐng)計(jì)算該甲蟲走過的路程;
(4)若圖中另有兩個(gè)格點(diǎn)M、N,且M→A(3-a,b-4),M→N(5-a,b-2),則N→A應(yīng)記為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將6張小長(zhǎng)方形紙片(如圖1所示)按圖2所示的方式不重疊的放在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi),未被覆蓋的部分恰好分割為兩個(gè)長(zhǎng)方形,面積分別為S1和S2.已知小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為a,寬為b,且a>b.當(dāng)AB長(zhǎng)度不變而BC變長(zhǎng)時(shí),將6張小長(zhǎng)方形紙片還按照同樣的方式放在新的長(zhǎng)方形ABCD內(nèi),S1與S2的差總保持不變,則a,b滿足的關(guān)系是
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在方格紙中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度有一個(gè)△ABC,它的三個(gè)頂點(diǎn)均與小正方形的頂點(diǎn)重合.
(1)將△ABC向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到△DEF(A與D、B與E、C與F對(duì)應(yīng)),請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵觥?/span>DEF;
(2)在(1)的條件下,連接AE和CE,請(qǐng)直接寫出△ACE的面積S,并判斷B是否在邊AE上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn),點(diǎn)A和點(diǎn)B間距20個(gè)單位長(zhǎng)度且點(diǎn)A、B表示的有理數(shù)互為相反數(shù),AC=36,數(shù)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向終點(diǎn)C移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)點(diǎn)A表示的有理數(shù)是 ,點(diǎn)B表示的有理數(shù)是 ,點(diǎn)C表示的有理數(shù)是 .
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸在點(diǎn)O和點(diǎn)C之間往復(fù)運(yùn)動(dòng).
①求t為何值時(shí),點(diǎn)Q第一次與點(diǎn)P重合?
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)停止,求此時(shí)點(diǎn)Q一共運(yùn)動(dòng)了多少個(gè)單位長(zhǎng)度,并求出此時(shí)點(diǎn)Q在數(shù)軸上所表示的有理數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于E、D兩點(diǎn),若AB=12cm,BC=10cm,∠A=50°,求△BCE的周長(zhǎng)和∠EBC的度數(shù).
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