Question

某水果店銷售某種水果，由歷年市場行情可知，從第1月至第12月，這種水果每千克售價(jià)y₁（元）與銷售時(shí)間第x月之間存在如圖1（一條線段）的變化趨勢，每千克成本y₂（元）與銷售時(shí)間第x月滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)₂=mx²-8mx+n，其變化趨勢如圖2所示．
 
（1）求y₂的解析式；
（2）第幾月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用,一次函數(shù)的應(yīng)用

專題：銷售問題

分析：（1）把函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)（3，6），（7，7）代入函數(shù)解析式，解方程組求出m、n的值，即可得解；
（2）根據(jù)圖1求出每千克的售價(jià)y₁與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)利潤=售價(jià)-成本，得到利潤與x的函數(shù)關(guān)系式，然后整理成頂點(diǎn)式形式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可．

解答：解：（1）由圖可知，y₂=mx²-8mx+n經(jīng)過點(diǎn)（3，6），（7，7），
∴

9m-24m+n=6 49m-56m+n=7

，
解得

m= 1 8 n= 63 8

．
∴y₂=

1

8

x²-x+

63

8

（1≤x≤12）；

（2）設(shè)y₁=kx+b（k≠0），
由圖可知，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，11），（8，10），
則

4k+b=11 8k+b=10

，
解得

k=- 1 4 b=12

，
∴y₁=-

1

4

x+12（1≤x≤12），
∴每千克所獲得利潤=（-

1

4

x+12）-（

1

8

x²-x+

63

8

）
=-

1

4

x+12-

1

8

x²+x-

63

8

=-

1

8

x²+

3

4

x+

33

8

=-

1

8

（x²-6x+9）+

9

8

+

33

8

=-

1

8

（x-3）²+

21

4

，
∵-

1

8

＜0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，所獲得利潤最大，最大為

21

4

元．
答：第3月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大，最大利潤是

21

4

元．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，難點(diǎn)在于（2）整理出利潤的表達(dá)式并整理成頂點(diǎn)式形式．