Question

如圖，M為線段CD上的一個動點（不與C、D重合），正方形ABCD與正方形AB′C′D′關(guān)于直線AM成軸對稱，
（1）若∠DAM=x°，∠CMD′=y°，求y與x的關(guān)系式；
（2）請你探索線段B′D和BD′的關(guān)系，并說明你的理由．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出∠AMD，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠AMD′=∠AMD，然后根據(jù)平角等于180°列式整理即可得解；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，AB′=AD′，∠BAD=∠B′AD′=90°，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD′=∠B′AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD′和△ADB′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得B′D=BD′．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠AMD=90°-∠DAM=90°-x°，
由軸對稱的性質(zhì)得，∠AMD′=∠AMD=90°-x°，
∵∠AMD′+∠AMD+∠CMD′=180°，
∴90°-x°+90°-x°+y°=180°，
∴y=2x；

（2）B′D=BD′．
證明如下：在正方形ABCD與正方形AB′C′D′中，AB=AD，AB′=AD′，∠BAD=∠B′AD′=90°，
∵∠BAD′+∠DAD′=∠B′AD+∠DAD′=90°，
∴∠BAD′=∠B′AD，
在△ABD′和△ADB′中，

AB=AD ∠BAD′=∠B′AD AB′=AD′

，
∴△ABD′≌△ADB′（SAS），
∴B′D=BD′．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出全等三角形和全等的條件是解題的關(guān)鍵．