Question

【題目】（感知）小亮遇到了這樣一道題：已知如圖在中，在上，在的延長(zhǎng)上，交于點(diǎn)，且，求證:.

小亮仔細(xì)分析了題中的已知條件后，如圖②過點(diǎn)作交于，進(jìn)而解決了該問題.（不需要證明）

（探究）如圖③，在四邊形中，，為邊的中點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（應(yīng)用）如圖③，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，、分別為，邊上的點(diǎn)，若＝1，＝，∠＝90°，則的長(zhǎng)為 .

Answer 1

【答案】探究：；應(yīng)用：.

【解析】

探究：分別延長(zhǎng)DC、AE，交于點(diǎn)G，根據(jù)已知條件可以得到△ABE≌△GCE，由此得到AB＝CG，由∠BAE＝∠EAF，等量代換可證∠CGE＝∠EAF，進(jìn)而得到AF＝GF，即可得出結(jié)論；

應(yīng)用：分別延長(zhǎng)FB、GE，交于點(diǎn)H，根據(jù)已知條件可以得到△AEG≌△BEH，由此得到AG=BH，GE=HE，然后利用三線合一的性質(zhì)得到FG＝FH，即可求出GF.

解：探究：AB＝AF＋CF；

證明：如圖，分別延長(zhǎng)DC、AE，交于點(diǎn)G，

∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠CGE，∠ABE＝∠GCE，

∵BE=CE，

∴△ABE≌△GCE，

∴AB＝CG，

又∵∠BAE＝∠EAF，

∴∠CGE＝∠EAF，

∴AF＝GF，

∴AB＝CG＝GF＋CF＝AF＋CF；

應(yīng)用：如圖，分別延長(zhǎng)FB、GE，交于點(diǎn)H，

∵∠A＝∠EBH＝90°，∠GEA＝∠HEB，AE＝BE，

∴△AEG≌△BEH，

∴AG=BH，GE=HE，

又∵∠GEF＝90°，即FE⊥GH，

∴FG＝FH，

∵FH＝BF+BH＝BF+AG＝，

∴GF＝.