Question

已知，如圖，延長(zhǎng)△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到△DEF為等邊三角形．求證：

（1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC為等邊三角形．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定；等邊三角形的判定．

【專題】證明題；壓軸題．

【分析】（1）關(guān)鍵是證出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，兩兩相加可得．再結(jié)合已知條件可證出△AEF≌△CDE．

（2）有（1）中的全等關(guān)系，可得出∠AFE=∠CED，再結(jié)合△DEF是等邊三角形，可知∠DEF=60°，從而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等邊三角形．

【解答】證明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）

∴FA=EC（等量加等量和相等）．

∵△DEF是等邊三角形（已知），

∴EF=DE（等邊三角形的性質(zhì)）．

又∵AE=CD（已知），

∴△AEF≌△CDE（SSS）．

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（對(duì)應(yīng)角相等），

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代換），

△DEF是等邊三角形（已知），

∴∠DEF=60°（等邊三角形的性質(zhì)），

∴∠BCA=60°（等量代換），

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，

∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角，

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中，AB=BC（等角對(duì)等邊）．

∴△ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）．

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，還有三角形的外角等不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，等邊三角形的判定（三個(gè)角都是60°，那么就是等邊三角形）．